The Project Gutenberg EBook of Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen
Functionen by Felix Klein



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Title: Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen

Author: Felix Klein

Release Date: January 8, 2007 [Ebook #20313]

Language: German

Character set encoding: ISO 8859-1


***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER RIEMANN'S THEORIE DER ALGEBRAISCHEN FUNCTIONEN***





Ueber Riemann's Theorie der Algebraischen Functionen


by Felix Klein




Edition 1, (January 8, 2007)





CONTENTS


Abschnitt I. - Einleitende Betrachtungen.
   . 1. Stationre Strmungen in der Ebene als Deutung der Functionen von
   x + iy.
   . 2. Bercksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).
   . 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung hherer
   Unendlichkeitspuncte aus niederen.
   . 4. Realisation der betrachteten Strmungen auf experimentellem Wege.
   . 5. Uebergang zur Kugelflche, Strmungen auf beliebigen krummen
   Flchen.
   . 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines
   complexen Argumentes.
   . 7. Noch einmal die Strmungen auf der Kugel. Riemann's allgemeine
   Fragestellung.
Abschnitt II. - Exposition der Riemann'schen Theorie.
   . 8. Classification geschlossener Flchen nach der Zahl _p_.
   . 9. Vorlufige Bestimmung stationrer Strmungen auf beliebigen
   Flchen.
   . 10. Die allgemeinste stationre Strmung. Beweis fr die
   Unmglichkeit anderweitiger Strmungen.
   . 11. Erluterung der Strmungen an Beispielen.
   . 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function
   des Ortes aus einzelnen Summanden.
   . 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere
   Betrachtung eindeutiger Functionen.
   . 14. Die gewhnlichen Riemann'schen Flchen ber der x + iy-Ebene.
   . 15. Der Ring p = 1 und die zweiblttrige Flche mit vier
   Verzweigungspuncten ber der Ebene.
   . 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strmungen
   entsprechen.
   . 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.
   . 18. Weiterbildung der Theorie.
Abschnitt III. - Folgerungen.
   . 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.
   . 20. Conforme Abbildung geschlossener Flchen auf sich selbst.
   . 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flchen.
    22. Conforme Abbildung verschiedener Flchen auf einander.
   . 23. Berandete Flchen und Doppelflchen.
   . 24. Schlussbemerkung.






ABSCHNITT I. - EINLEITENDE BETRACHTUNGEN.




. 1. Stationre Strmungen in der Ebene als Deutung der Functionen von x
+ iy.


Die physikalische Deutung der Functionen von [formula], mit welcher wir im
Folgenden zu arbeiten haben, ist in ihren Grundlagen wohlbekannt(1), nur
der Vollstndigkeit halber mssen letztere kurz zur Sprache gebracht
werden.

Sei [formula], [formula], [formula]. Dann hat man vor allen Dingen:

[formula]

und hieraus:

[formula]

sowie fr _v_:

[formula]

Hier wird man nun _u_ als _Geschwindigkeitspotential_ deuten, so dass
[formula] [formula] die Componenten der Geschwindigkeit sind, mit der eine
Flssigkeit parallel zur [formula]-Ebene strmt. Wir mgen uns diese
Flssigkeit zwischen zwei Ebenen eingeschlossen denken, die parallel zur
[formula]-Ebene verlaufen, oder auch uns vorstellen, dass die Flssigkeit
als unendlich dnne, brigens gleichfrmige Membran ber der
[formula]-Ebene ausgebreitet sei. Dann sagt die Gleichung (2)--und dies
ist der Kern unserer physikalischen Deutung--, dass unsere Strmung eine
_stationre_ ist.  Die Curven [formula] Const. heissen die _Niveaucurven_,
whrend die Curven [formula] Const., die vermge (1) den ersteren berall
rechtwinkelig begegnen, die _Strmungscurven_ abgeben.

Bei dieser Vorstellungsweise ist es zunchst natrlich vllig
gleichgltig, wie beschaffen wir uns die strmende Flssigkeit denken
wollen. Inzwischen wird es in der Folge vielfach zweckmssig sein,
dieselbe mit dem _elektrischen Fluidum_ zu identificiren. Es wird dann
nmlich _u_ mit dem elektrostatischen Potential, welches die Strmung
hervorruft, proportional, und die experimentelle Physik gibt uns
mannigfache Mittel an die Hand, um zahlreiche Strmungszustnde, die uns
interessiren, thatschlich zu realisiren.

Die Strmung selbst wird brigens ungendert bleiben, wenn wir _u_
durchweg um eine Constante vermehren: es sind nur die
Differentialquotienten [formula], welche unmittelbar in Evidenz treten.
Das Analoge gilt von _v_; so dass die Function [formula], welche wir
physikalisch deuten, durch diese Deutung nur bis auf eine additive
Constante bestimmt ist, was im Folgenden wohl zu beachten ist.

Sodann bemerke man noch, dass die Gleichungen (1)-(3) ungendert bestehen
bleiben, wenn man _u_ durch _v_, _v_ durch [formula] ersetzt.
Dementsprechend erhalten wir einen zweiten Strmungszustand, bei welchem
_v_ das Geschwindigkeitspotential abgibt und die Curven [formula] Const.
die Strmungscurven sind. Derselbe reprsentirt in dem oben erluterten
Sinne die Function [formula]. Es ist hufig zweckmssig, diese neue
Strmung neben der ursprnglichen zu betrachten, bei welcher _u_ das
Geschwindigkeitspotential war; wir wollen dann der Krze halber von
_conjugirten_ Strmungen sprechen. Die Benennung ist zwar etwas ungenau,
weil sich _u_ zu _v_ verhlt, wie _v_ zu [formula]; sie wird aber fr
spter ausreichen.

Diese ganze Erluterung bezieht sich, gleich den Differentialgleichungen
(1)-(3), zuvrderst nur auf einen solchen (brigens beliebigen) _Theil_
der Ebene, in welchem [formula] eindeutig ist und weder [formula], noch
einer seiner Differentialquotienten unendlich wird. Um den entsprechenden
physikalischen Vorgang deutlich zu bersehen, hat man sich also vorab
einen solchen Bereich abzugrnzen und durch geeignete Vorrichtungen an der
Grnze dafr zu sorgen, dass der im Inneren des Gebietes eingeleitete
stationre Bewegungszustand ungehindert fortdauern kann.

In einem so umgrnzten Gebiete werden diejenigen Puncte [formula] unsere
besondere Aufmerksamkeit auf sich ziehen, fr welche der
Differentialquotient [formula] verschwindet. Ich will der Allgemeinheit
wegen gleich annehmen, dass auch [formula], [formula], [formula] bis hin
zu [formula] gleich Null sein mgen. Um ber den Verlauf der Niveaucurven,
oder auch der Strmungscurven, in der Nhe eines solchen Punctes
Aufschluss zu erhalten, entwickele man _w_ in eine nach Potenzen von
[formula] fortschreitende Reihe. Dieselbe bringt hinter dem constanten
Gliede unmittelbar ein Glied mit [formula]. Durch Einfhrung von
Polarcoordinaten schliesst man hieraus: _dass sich im Puncte _[formula]_
_[formula]_ Curven _[formula]_ Const. unter resp. gleichen Winkeln
kreuzen, whrend ebensoviel Curven _[formula]_ Const. als Halbirungslinien
der genannten Winkel auftreten_. Ich werde einen solchen Punct
dementsprechend einen _Kreuzungspunct_ nennen, und zwar einen
_Kreuzungspunct von der Multiplicitt _[formula].

Die folgende (selbstverstndlich nur schematische) Figur mag dieses
Vorkommniss fr [formula] erlutern und namentlich verstndlich machen,
wie sich ein Kreuzungspunct in das Orthogonalsystem einfgt, welches
brigens von den Curven [formula] Const., [formula] Const. gebildet wird:

                         [Illustration: Figur 1.]

                                 Figur 1.


Die Strmungscurven [formula] Const. erscheinen in der Figur ausgezogen
und die Strmungsrichtungen auf ihnen durch beigesetzte Pfeilspitzen
angegeben; die Niveaucurven sind durch Punctirung angedeutet. Man sieht,
wie die Flssigkeit von drei Seiten auf den Kreuzungspunct zustrmt, um
ebenfalls nach drei Seiten von demselben abzustrmen. Diess wird nur
dadurch mglich, dass die Geschwindigkeit der Strmung im Kreuzungspunkte
gleich Null wird (dass sich die Flssigkeit in demselben staut, wie man
nach Analogie bekannter Vorkommnisse sagen knnte). In der That ist ja die
Geschwindigkeit durch [formula] gegeben.

Es ist weiterhin vortheilhaft, den Kreuzungspunkt von der Multiplicitt
[formula] _als Grnzfall von _[formula]_ einfachen Kreuzungspuncten_
aufzufassen. Dass diess zulssig ist, zeigt die analytische Behandlung.
Denn im [formula]-fachen Kreuzungspunkte hat die Gleichung [formula] eine
[formula]-fache Wurzel, und eine solche entsteht, wie man weiss, durch
Zusammenrcken von [formula] einfachen Wurzeln. Im Uebrigen mgen folgende
Figuren diese Auffassung erlutern:

                         [Illustration: Figur 2.]

                                 Figur 2.


                         [Illustration: Figur 3.]

                                 Figur 3.


Ich habe in denselben der Einfachheit halber nur die Strmungscurven
angegeben. Linker Hand erblickt man denselben Kreuzungspunct von der
Multiplicitt Zwei, auf den sich Figur 1 bezieht. Rechter Hand liegt eine
Strmung vor, welche dicht bei einander zwei einfache Kreuzungspuncte
aufweist. Man erkennt, wie der eine Strmungszustand aus dem anderen durch
continuirliche Aenderung hervorgeht.

Bei dieser Erluterung wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass das
Gebiet, in welchem wir den Strmungszustand betrachten, sich nicht in's
Unendliche erstrecke. Es hat allerdings keinerlei principielle
Schwierigkeit, den Punct [formula] ebenso in Betracht zu ziehen, wie
irgend einen anderen Punct [formula]. An Stelle der Reihenentwickelung
nach Potenzen von [formula] hat dann in bekannter Weise eine solche nach
Potenzen von [formula] zu treten. Man wird von einem [formula]-fachen
Kreuzungspuncte bei [formula] sprechen, wenn diese Entwickelung hinter dem
constanten Gliede sofort einen Term mit [formula] bringt. Aber es scheint
berflssig, die geometrischen Verhltnisse, welche diesen Vorkommnissen
bei unserer Strmung entsprechen, ausfhrlicher zu schildern. Denn wir
werden spter Mittel und Wege kennen lernen, um die Sonderstellung des
Werthes [formula], wie sie uns hier entgegentritt, ein fr allemal zu
beseitigen. Ebendesshalb wird der Punct [formula] in den nchstfolgenden
Paragraphen (. 2-4) bei Seite gelassen, trotzdem er auch dort, wenn man
vollstndig sein wollte, besonders in Betracht gezogen werden msste.




. 2. Bercksichtigung der Unendlichkeitspuncte von w = f(z).


Wir wollen nunmehr auch solche Puncte [formula] in unser Gebiet
hereinnehmen, in denen [formula] unendlich gross wird. Dabei schrnken wir
indess die unbegrnzte Reihe der Mglichkeiten, welche in dieser Richtung
vorliegt, mit Rcksicht auf die specielle von uns allein zu studierende
Functionsclasse bedeutend ein. Wir wollen verlangen, _dass der
Differentialquotient _[formula]_ keine wesentlich singulre Stelle
besitzen soll_, oder, was dasselbe ist, wir wollen festsetzen, _dass __w__
nur so unendlich werden darf, wie ein Ausdruck der folgenden Form_:

[formula]

_unter _[formula]_ eine bestimmte endliche Zahl verstanden_.

Entsprechend den verschiedenen Formen, die dieser Ausdruck darbietet,
sagen wir, dass sich bei [formula] verschiedene Unstetigkeiten berlagern:
ein _logarithmischer_ Unendlichkeitspunct, ein _algebraischer_
Unendlichkeitspunct von der Multiplicitt Eins, u. s. f. Wir werden der
Einfachheit halber hier jedes dieser Vorkommnisse fr sich betrachten,
worauf es eine ntzliche Uebung sein wird, sich in einzelnen Fllen das
Resultat der Ueberlagerung deutlich zu machen.

Sei [formula] zuvrderst ein _logarithmischer_ Unendlichkeitspunct. Wir
haben dann:

[formula]

Hier ist _A_ diejenige Grsse, welche man, mit [formula] multiplicirt,
nach _Cauchy_ als _Residuum_ des logarithmischen Unendlichkeitspunctes
bezeichnet, eine Benennung, die im Folgenden gelegentlich angewandt werden
soll. Fr die Strmung in der Nhe des Unstetigkeitspunctes ist es von
primrer Wichtigkeit, ob _A_ reell ist oder rein imaginr, oder endlich
complex. Offenbar kann man den dritten Fall als eine Ueberlagerung der
beiden ersten auffassen. Wir wollen daher auch ihn bei Seite lassen und
haben uns somit nur mit zwei getrennten Mglichkeiten zu beschftigen.

1) Wenn _A_ reell ist, so werde [formula] gesetzt. Man hat dann in erster
Annherung fr [formula], [formula]:

[formula]

Die Curven [formula] Const. umgeben also den Unendlichkeitspunct in
Gestalt kleiner Kreise; die Curven [formula] Const. laufen, den
wechselnden Werthen von [formula] entsprechend, in allen Richtungen auf
den Unendlichkeitspunct zu. Wir haben eine Bewegung, bei welcher
[formula]_ eine Quelle von einer gewissen positiven oder negativen
Ergiebigkeit vorstellt_. Um diese Ergiebigkeit zu berechnen, multipliciren
wir das Bogenelement eines kleinen mit dem Radius _r_ um den
Unstetigkeitspunct beschriebenen Kreises mit der zugehrigen
Geschwindigkeit und integriren den so gewonnenen Ausdruck lngs der
Kreisperipherie. Da [formula] in erster Annherung mit [formula] und
dieses mit [formula] zusammenfllt, so kommt:

[formula]

als Werth der Ergiebigkeit. _Die Ergiebigkeit ist also gleich dem
Residuum, getheilt durch __i__; sie ist positiv oder negativ je nach dem
Werthe von __A_.

2) Sei zweitens _A_ rein imaginr, gleich [formula]. Dann kommt unter
Beibehaltung der brigen Bezeichnungen in erster Annherung:

[formula]

Die Rollen der Curven [formula] Const., [formula] Const. sind also
geradezu vertauscht. Die Niveaucurven verlaufen jetzt nach allen
Richtungen von [formula] aus, whrend die Strmungscurven den
Unendlichkeitspunct in kleinen Kreisen umgeben. Die Flssigkeit _wirbelt_
auf letzteren Curven um den Punct [formula] herum. Ich will den Punct
dementsprechend als einen _Wirbelpunct_ bezeichnen. Sinn und Intensitt
des Wirbels werden durch [formula] gemessen. Da die Geschwindigkeit

[formula]

in erster Annherung gleich [formula] wird, _so findet die Wirbelbewegung
bei positivem_ [formula] _im Sinne des Uhrzeigers, bei negativem
_[formula]_ in entgegengesetztem Sinne statt_. Wir mgen die Intensitt
des Wirbels gleich [formula] setzen, sie ist dann dem Residuum des
betreffenden Unendlichkeitspunctes negativ gleich.

Uebrigens knnen wir sagen, indem wir uns der Definition conjugirter
Strmungen, wie sie im vorigen Paragraphen gegeben wurde, mit der ihr
anhaftenden Unbestimmtheit erinnern: _Hat eine von zwei conjugirten
Strmungen bei _[formula]_ eine Quelle von einer gewissen Ergiebigkeit, so
hat die andere dort einen Wirbelpunct von gleicher oder entgegengesetzt
gleicher Intensitt_.

Wir betrachten ferner die _algebraischen_ Unstetigkeitspuncte. Bei ihnen
ist der Verlauf der Strmung seinem allgemeinen Charakter nach davon
unabhngig, ob das erste Glied der Reihenentwickelung einen reellen,
imaginren oder complexen Coefficienten hat. Sei zuvrderst:

[formula]

so wird in erster Annherung fr [formula], [formula]:

[formula]

Betrachten wir zuvrderst den reellen Theil rechter Hand. Wenn _r_ sehr
klein ist, so kann [formula] durch geschickte Wahl von [formula] doch noch
jeden beliebigen vorgegebenen Werth vorstellen. _Die Function __u__ nimmt
also in unmittelbarer Nhe der Unstetigkeitsstelle noch jeden Werth an_.
Zur nheren Orientirung denken wir uns einen Augenblick _r_ und [formula]
als unbegrnzte Vernderliche, setzen also

[formula]

Wir erhalten dann ein Bschel von Kreisen, welche alle die feste Richtung
[formula] berhren. Die Kreise sind um so kleiner, je grsser der absolute
Betrag von Const. genommen wird. _In hnlicher Weise verlaufen daher die
Curven _[formula]_ Const. in der Nhe der Unstetigkeitsstelle.
Insbesondere haben sie fr sehr grosse positive oder negative Werthe von
Const. die Gestalt kleiner, geschlossener, kreishnlicher Ovale_.--Fr den
imaginren Theil des Ausdrucks rechter Hand und also die Curven [formula]
Const. gilt eine hnliche Discussion. Der Unterschied ist nur der, dass
jetzt die Richtung [formula] von allen Curven berhrt wird. Hiernach wird
die folgende Figur, in welcher die Niveaucurven wieder punctirt, die
Strmungscurven ausgezogen sind, verstndlich sein:

                         [Illustration: Figur 4.]

                                 Figur 4.


Die analoge Discussion liefert vom [formula]-fachen algebraischen
Unstetigkeitspuncte die erforderliche Anschauung. Ich will hier nur das
Resultat anfhren: _Jede Curve _[formula]_ Const. luft _[formula]_-mal
durch den Unstetigkeitspunct hindurch, indem sie der Reihe nach
_[formula]_ feste, gleich stark gegen einander geneigte Tangenten berhrt.
Analog die Curven _[formula]_ Const. Fr sehr grosse (positive oder
negative) Werthe der Constante sind beiderlei Curven in__ unmittelbarer
Nhre der Unstetigkeitsstelle geschlossen_. Ich gebe zur Veranschaulichung
eine Figur fr [formula]:

                         [Illustration: Figur 5.]

                                 Figur 5.


Man wird vermuthen, dass diese hheren Vorkommnisse aus den niederen durch
Grnzbergang entstehen mgen. Ich verschiebe die betreffende Erluterung
bis zum folgenden Paragraphen, wo uns eine bestimmte Functionsclasse die
erforderlichen Anschauungen mit Leichtigkeit vermitteln wird.




. 3. Rationale Functionen und ihre Integrale. Entstehung hherer
Unendlichkeitspuncte aus niederen.


Die entwickelten Stze gengen, um den Gesammtverlauf solcher Functionen
zu veranschaulichen, die, brigens in der ganzen Ebene eindeutig, keine
anderen Unendlichkeitspuncte aufweisen, als die eben betrachteten. Es sind
diess, wie man weiss, _die rationalen Functionen und ihre Integrale_. Ohne
ausgefhrte Zeichnungen zu geben, stelle ich hier die Stze, welche man
bei ihnen betreffs der Kreuzungspuncte und Unendlichkeitspuncte findet, in
knapper Form zusammen. Ich beschrnke mich dabei, aus dem oben angegebenen
Grunde, auf solche Flle, in denen [formula] keinerlei ausgezeichnete
Rolle spielt. Die hierin liegende Beschrnkung wird hinterher, wie bereits
angedeutet, von selbst in Wegfall kommen.

1) Die rationale Function, welche wir zu betrachten haben, stellt sich in
der Form dar:

[formula]

wo [formula] und [formula] ganze Functionen desselben Grades sind, die
ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden knnen. Ist dieser Grad der
[formula] und zhlt man jeden algebraischen Unendlichkeitspunct so oft,
als seine Multiplicitt anzeigt, so erhlt man, den Wurzeln von [formula]
entsprechend, _n_ algebraische Unstetigkeitspuncte. Die Kreuzungspuncte
sind durch [formula], eine Gleichung [formula] Grades, gegeben. _Die
Gesammtmultiplicitt der Kreuzungspuncte ist also_ [formula], wobei man
aber beachten muss, dass jede [formula]-fache Wurzel von [formula] eine
[formula]-fache Wurzel von [formula] ist und also jeder [formula]-fache
Unendlichkeitspunct der Function fr [formula] Kreuzungspuncte mitzhlt.

2) Soll das Integral einer rationalen Function

[formula]

fr [formula] endlich bleiben, so muss der Grad von [formula] um zwei
Einheiten kleiner sein als der Grad von [formula]. [formula] und [formula]
sollen dabei ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden. Dann liefert
[formula] _die freien Kreuzungspuncte_, d. h. diejenigen Kreuzungspuncte,
welche nicht mit Unendlichkeitspuncten zusammenfallen. Die Wurzeln von
[formula] geben die Unendlichkeitspuncte des Integrals. Und zwar
entspricht der einfachen Wurzel von [formula] ein logarithmischer
Unendlichkeitspunct, der Doppelwurzel ein Unendlichkeitspunct, der im
Allgemeinen die Ueberlagerung eines logarithmischen Unstetigkeitspunctes
mit einem einfachen algebraischen sein wird, etc. _Wenn man
dementsprechend jeden Unendlichkeitspunct so oft zhlt, als die
Multiplicitt des entsprechenden Factors in _[formula]_ betrgt, so ist
die Gesammtmultiplicitt der Kreuzungspuncte um zwei Einheiten geringer
als die der Unendlichkeitspuncte_. Uebrigens sei noch an den bekannten
Satz erinnert, dass die Summe der logarithmischen Residua smmtlicher
Unstetigkeitspuncte gleich Null ist.--

Das Vorstehende gibt uns eine zweifache Mglichkeit, um hhere
Unstetigkeitspuncte aus niederen entstehen zu lassen. Wir knnen
einmal--und diess ist fr uns das Wichtigste--vom Integral der rationalen
Function ausgehen. Bei ihm entsteht ein [formula]-facher algebraischer
Unstetigkeitspunct, wenn [formula] Factoren von [formula] einander gleich
werden, _wenn also _[formula]_ logarithmische Unstetigkeitspuncte in
geeigneter Weise zusammenrcken_. Dabei ist deutlich, dass die
Residuensumme der letzteren gleich Null sein muss, wenn der entstehende
Unendlichkeitspunct ein rein algebraischer sein soll. Die folgenden beiden
Figuren, in denen nur die Strmungscurven angegeben sind, erlutern den
betreffenden Grnzbergang fr den einfachen algebraischen
Unstetigkeitspunct der Figur (4):

                         [Illustration: Fig. 6.]

                                 Fig. 6.


                         [Illustration: Fig. 7.]

                                 Fig. 7.


Ich habe dabei die Anordnung in doppelter Weise getroffen, so dass linker
Hand zwei Quellenpuncte, rechter Hand zwei Wirbelpuncte einander nahe
gerckt scheinen und Figur 4 als bereinstimmendes Resultat des
Grnzberganges in beiden Fllen erscheint. In derselben Beziehung stehen
die folgenden beiden Zeichnungen zu Figur 5:

                         [Illustration: Fig. 8.]

                                 Fig. 8.


                         [Illustration: Fig. 9.]

                                 Fig. 9.


Die zweite Mglichkeit fr das Entstehen hherer Unendlichkeitsstellen aus
niederen bietet die Betrachtung der rationalen Function [formula] selbst.
Logarithmische Unendlichkeitsstellen bleiben dabei ausgeschlossen. _Der
_[formula]_-fache algebraische Unstetigkeitspunct entsteht jetzt aus
_[formula]_ einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten_, indem nmlich
[formula] einfache lineare Factoren von [formula] zu einem
[formula]-fachen zusammenrcken mssen. _Aber zugleich vereinigt sich mit
ihnen eine Anzahl von Kreuzungspuncten, deren Gesammtmultiplicitt
_[formula]_ betrgt_. Denn [formula] erhlt, wie schon bemerkt, in
demselben Augenblicke, wo [formula] den [formula]-fachen Factor bekommt,
einen [formula]-fachen Factor. Die folgende Figur erlutert in diesem
Sinne das Entstehen des in Figur 5 abgeleiteten zweifachen algebraischen
Unendlichkeitspunctes:

                         [Illustration: Fig. 10.]

                                 Fig. 10.


Es ist natrlich leicht, diese beiden Arten des Grnzberganges unter eine
allgemeinere gemeinsam zu subsumiren. Wenn man [formula] logarithmische
Unendlichkeitspuncte und [formula] Kreuzungspuncte successive oder
gleichzeitig zusammenfallen lsst, so wird allemal ein [formula]-facher
algebraischer Unstetigkeitspunct entstehen. Doch ist hier nicht der Ort,
um diese Gedanken weiter auszufhren.




. 4. Realisation der betrachteten Strmungen auf experimentellem Wege.


Wir wollen unserer Betrachtung nunmehr eine andere Wendung geben, indem
wir uns fragen, wie diejenigen Bewegungsformen, die wir jetzt von den
rationalen Functionen und ihren Integralen kennen, physikalisch realisirt
werden mgen. Dabei sei es gestattet, von dem Princip der _Ueberlagerung_
ausgiebigen Gebrauch zu machen, so dass es sich nur um Herstellung der
allereinfachsten Bewegungsformen handelt. Aus der Theorie der
Partialbrche folgt, dass man jede der in Betracht kommenden Functionen
aus einzelnen Bestandtheilen additiv zusammensetzen kann, welche sich
unter einen der folgenden beiden Typen subsumiren:

[formula]

Da [formula] bei [formula] einen Unstetigkeitspunct hat, was eine
unnthige Besonderheit ist, so wollen wir den ersten Typus durch den
allgemeineren ersetzen:

[formula]

und diesen selbst wieder, entsprechend den Erluterungen des . 2, in zwei
Bestandtheile zerspalten, indem wir nmlich _A_ gleich  A + _i_B setzen
und nun A [formula] und _i_B [formula] gesondert betrachten. Hiernach
haben wir im Ganzen drei Flle auseinanderzuhalten.

1) Wenn es sich um den Typus A [formula] handelt, so haben wir bei
[formula] eine Quelle von der Ergiebigkeit _2_ A [formula], bei [formula]
eine solche von der Ergiebigkeit [formula] A [formula] anzubringen. Man
denke sich zu dem Zwecke die [formula]-Ebene mit einer unendlich dnnen,
gleichfrmigen, elektricittsleitenden Schicht berdeckt. Dann wird die
entsprechende Bewegungsform offenbar realisirt, _indem wir bei _[formula]_
den einen, bei _[formula]_ den anderen Pol einer galvanischen Batterie von
zweckmssig gewhlter Strke aufsetzen_(2).--Man sieht zugleich, wesshalb
das Residuum von [formula] demjenigen von [formula] entgegengesetzt gleich
sein muss: da der Strmungszustand stationr sein soll, muss an der einen
Stelle ebenso viel Elektricitt zugefhrt werden, als an der anderen
abstrmt. Derselbe Grund gilt, wie man sofort erkennt, fr den
entsprechenden Satz bei beliebig vielen logarithmischen
Unendlichkeitspuncten, wobei allerdings zunchst nur von den rein
imaginren Theilen der betreffenden Residua die Rede ist (welche den von
den Unendlichkeitspunkten ausgehenden Quellenbewegungen entsprechen).

2) Im zweiten Falle (wo _i_B [formula] gegeben ist) wird die
experimentelle Anordnung etwas schwieriger. Das einfachste Schema ist
dieses, dass man [formula] und [formula] durch eine sich selbst nicht
schneidende Curve verbindet _und nun dafr sorgt, dass diese Curve der
Sitz einer constanten elektromotorischen Kraft sei_. Es entwickelt sich
dann in der [formula]-Ebene eine Strmung, welche bei [formula] und
[formula] Wirbelpunkte aufweist, welche berall sonst stetig verluft, und
aus der man durch Integration als zugehriges Geschwindigkeitspotential
eine Function findet, welche bei jeder Umkreisung von [formula] oder
[formula] um einen gewissen Periodicittsmodul wchst. Von diesem
Geschwindigkeitspotential ist dabei das nothwendig eindeutige
elektrostatische Potential wohl zu unterscheiden. Die Curve, welche
[formula] und [formula] verbindet, ist fr das letztere eine
Unstetigkeitscurve, und wird eben hierdurch die Eindeutigkeit des
elektrostatischen Potentials ermglicht(3).

                         [Illustration: Fig. 11.]

                                 Fig. 11.


Ich weiss nicht, ob es eine experimentelle Anordnung giebt, um dieses
einfachste Schema zu realisiren. Es scheint, dass man umstndlicher zu
Werke gehen muss. Denken wir zuvrderst etwa an _thermoelektrische_
Strme. Wir wollen die [formula]-Ebene zum Theil mit dem Materiale I, zum
Theil mit dem Materiale II berdecken und die Strke der berdeckenden
Schichten dabei so bemessen, dass der specifische Leitungswiderstand
berall derselbe sei. Wenn wir dann dafr sorgen, dass die beiden durch
[formula] und [formula] von einander getrennten Theile der Contour, in
welcher die zweierlei Materialien zusammenstossen, beide auf constanten,
unter sich verschiedenen Temperaturen gehalten werden, so wird in der That
eine elektrische Strmung entstehen, wie wir sie haben wollen. Dabei weist
das elektrostatische Potential, nach den Vorstellungen, die man der Lehre
von der Thermoelektricitt zu Grunde legt, an _beiden_ Theilen der
genannten Contour Unstetigkeiten auf.--Noch complicirter scheint es,
elektrische Strme zu benutzen, wie sie die gewhnlichen galvanischen
Elemente liefern. Man muss die Ebene dann durch mindestens drei Curven,
welche von [formula] nach [formula] verlaufen, in Theile zerlegen und zwei
dieser Theile mit metallischen Belegen, den dritten mit einem feuchten
Leiter berdecken. Man vergleiche hierzu die Figur 12.

                         [Illustration: Fig. 12.]

                                 Fig. 12.


Durch alle diese Anordnungen hindurch ist von Vorne herein ersichtlich,
dass die beiden bei [formula] und [formula] auftretenden Wirbelpuncte in
der That entgegengesetzt gleiche Intensitt haben mssen. Aus hnlichen
Grnden wird die Gesammtintensitt smmtlicher Wirbel bei beliebig vielen
gegebenen Wirbelpuncten immer gleich Null sein, und ist dadurch der Satz
von dem Verschwinden der Summe aller logarithmischen Residuen, auch was
den reellen Theil dieser Residuen angeht, auf physikalisch evidente Grnde
zurckgefhrt.

3) Die Bewegungsformen, welche den algebraischen Typen [formula]
entsprechen, mgen den Entwickelungen des . 3 zufolge aus den eben
betrachteten durch Grenzbergang gewonnen werden. Es wird diess natrlich
nur mit einer gewissen Annherung geschehen knnen. Man setze z. B.
[formula] Drhte, in welche die Pole einer galvanischen Batterie
auslaufen, _dicht bei einander_ auf die [formula]-Ebene auf. Dann entsteht
eine Strmung, welche in einiger Entfernung von den Drahtenden mit
derjenigen merklich zusammenfllt, welche einem algebraischen
Unstetigkeitspunkte von der Multiplicitt [formula] entspricht. Zugleich
ergiebt sich eine Ergnzung unserer obigen Darstellung. Man wird die
galvanische Batterie _sehr stark_ nehmen mssen, wenn bei der erwhnten
Anordnung noch eine mittlere elektrische Strmung zu Stande kommen soll.
Es entspricht diess dem von analytischer Seite wohlbekannten Satze, dass
die Residua logarithmischer Unendlichkeitspuncte selbst in's Unendliche
wachsen mssen, wenn beim Zusammenfallen der logarithmischen ein
algebraischer Unstetigkeitspunkt entstehen soll.--Ich gehe hier in kein
weiteres Detail, da es im Folgenden allein darauf ankommt, dass auf Grund
der Figuren 6-9 das allgemeine Princip verstanden wird.




. 5. Uebergang zur Kugelflche, Strmungen auf beliebigen krummen
Flchen.


Um die unendlich grossen Werthe von _z_ derselben geometrischen
Behandlungsweise zugnglich zu machen, wie die endlichen, bedient man sich
in den Lehrbchern jetzt allgemein der _Kugelflche_(_4_), welche
stereographisch auf die [formula]-Ebene bezogen ist. Man kennt die
einfachen geometrischen Beziehungen, welche bei dieser Abbildung
auftreten(5). Man weiss auch zur Genge, dass das Unendlich-Weite der
Ebene sich in einen bestimmten Punct der Kugel, den Projectionspunct,
zusammenzieht, so dass es keine symbolische Ausdrucksweise mehr ist, wenn
man auf der Kugel von einem Puncte [formula] spricht. Dagegen scheint es
noch immer weniger bekannt zu sein, dass bei dieser Abbildung die
Functionen von [formula] eine Bedeutung fr die Kugelflche gewinnen,
welche derjenigen, die sie fr die Ebene hatten, genau analog ist, _dass
man also in den Entwickelungen der vorangehenden Paragraphen statt der
Ebene die Kugel gebrauchen kann, wobei von einer Sonderstellung des
Werthes_ [formula] _von vorne herein keine Rede ist_(6): Ich entwickele
hier kurz diejenigen Stze der Flchentheorie, aus denen diese Behauptung
folgt, und nehme meinen Standpunct dabei gleich so allgemein, dass meine
Darstellung fr spter anzustellende Betrachtungen ausreicht.

Indem wir Flssigkeitsbewegungen parallel der [formula]-Ebene studirten,
haben wir uns bereits gewhnt, die Flssigkeitsschicht, welche der
Betrachtung unterliegt, als unendlich dnn vorauszusetzen. In demselben
Sinne kann man Flssigkeitsbewegungen offenbar auf beliebig gegebenen
Flchen betrachten. Die Verschiebungen frei ausgespannter
Flssigkeitsmembranen in sich, wie man sie bei den Plateau'schen Versuchen
so schn beobachten kann, geben ein anschauliches Beispiel dafr.--Wir
werden versuchen, auch derartige Bewegungen durch ein Potential zu
definiren, und vor allen Dingen fragen, welche Bewandniss es dann mit den
stationren Bewegungen hat.

Die zweckmssige Verallgemeinerung des Potentialbegriffs bietet sich
unmittelbar. Es sei _u_ eine Function des Ortes auf der Flche, so denke
man sich auf letzterer die Curven [formula] Const. gezogen. Sodann werde
festgesetzt, dass die Flssigkeitsbewegung auf der Flche in jedem Punkte
_senkrecht_ gegen die hindurchgehende Curve [formula] Const. stattfinden
solle, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die, unter [formula] das
Bogenelement der zugehrigen, auf der Flche verlaufenden Normalrichtung
verstanden, gleich [formula] ist. Wir nennen dann _u_, wie in der Ebene,
das zur Bewegung gehrige _Geschwindigkeitspotential_.

Die in solcher Weise definirte Strmung soll nun eine _stationre_ sein.
Um eine bestimmte Formel zu haben, wollen wir ein krummliniges
Coordinatensystem _p_, _q_ auf unserer Flche annehmen und uns die Form
bestimmt denken:

[formula]

welche vermge dieses Coordinatensystems das Bogenelement auf der Flche
annimmt. Dann gibt eine einfache Zwischenbetrachtung, welche der in der
Ebene blichen durchaus analog verluft, dass _u_, um eine stationre
Bewegung zu veranlassen, der folgenden Differentialgleichung zweiter
Ordnung gengen muss:

[formula]

An diese Differentialgleichung knpft nun eine kurze Ueberlegung, welche
die volle Analogie mit den auf die Ebene bezglichen Resultaten herstellt.

Es ergiebt sich nmlich aus der Form von (2); dass man neben jedem _u_,
welches (2) gengt, eine andere Function _v_ einfhren kann, _die zu __u__
genau in dem bekannten Reciprocittsverhltnisse steht_. In der That,
vermge (2) sind die folgenden beiden Gleichungen vertrglich:

[formula]

sie definiren ein _v_ bis auf eine nothwendig unbestimmt bleibende
Constante. Aus ihnen aber folgt durch Auflsung:

[formula]

und hieraus:

[formula]

so dass einmal _u_ sich zu _v_ verhlt, wie _v_ zu [formula], und
andererseits _v_, so gut wie _u_, der partiellen Differentialgleichung (2)
gengt. Zugleich haben die Gleichungen (3), bez. (4), die geometrische
Bedeutung, dass die Curven _u_ = Const. und _v_ = Const. einander im
Allgemeinen rechtwinkelig schneiden.

Was nun die Behauptung betrifft, die ich hinsichtlich der
stereographischen Beziehung der Kugel auf die Ebene zu Eingang dieses
Paragraphen voranstellte, so ist sie ein unmittelbarer Ausfluss aus dem
Umstande, _dass die Gleichungen _[formula]_ in __E__, __F__, __G__ homogen
von der nullten Dimension sind_(7). Wenn zwei Flchen conform auf einander
bezogen sind und man fhrt auf ihnen entsprechende krummlinige Coordinaten
ein, so unterscheidet sich der Ausdruck fr das Bogenelement auf der einen
Flche von dem auf die andere Flche bezglichen nur durch einen Faktor.
Dieser Factor aber fllt aus dem angegebenen Grunde aus den Gleichungen
(2)--(5) einfach heraus. Wir haben also einen allgemeinen Satz, der die
besondere auf Kugel und Ebene bezgliche, oben ausgesprochene Behauptung
als speciellen Fall umfasst. Indem ich aus _u_, _v_ die Combination
[formula] bilde und diese als _complexe Function des Ortes auf der Flche_
bezeichne, spricht sich derselbe folgendermassen aus:

_Wird eine Flche conform auf eine zweite abgebildet, so verwandelt sich
jede auf ihr existirende complexe Function des Ortes in eine Function
derselben Art auf der zweiten Flche._

Vielleicht ist es ntzlich, ausdrcklich einem Missverstndnisse
entgegenzutreten, welches hierbei entstehen knnte. Derselben Function
[formula] entspricht eine Flssigkeitsbewegung auf der einen und auf der
anderen Flche; man knnte meinen, dass die eine Bewegung vermge der
Abbildung aus der anderen hervorgehe. Dies ist natrlich richtig mit Bezug
auf den Verlauf der Strmungscurven und der Niveaucurven, keineswegs aber
in Bezug auf die Geschwindigkeit. Wo das Bogenelement der einen Flche
grsser ist, als das Bogenelement der anderen Flche, da ist die
Geschwindigkeit der Strmung entsprechend _kleiner_. Hierin eben liegt es,
dass der Werth [formula] auf der Kugel seine singulre Stellung verliert.
Fr den Unendlichkeitspunct der Ebene erweist sich die Geschwindigkeit der
Strmung, wie man sofort sieht, im Allgemeinen als unendlich klein von der
zweiten Ordnung. Sollte der Unendlichkeitspunkt singulr sein, so wird die
Geschwindigkeit dort allemal um zwei Ordnungen kleiner, als die
Geschwindigkeit in einem gleichzubenennenden Punkt des Endlichen. Man
erinnere sich nun der oben (unter dem Texte) mitgetheilten Formel:

[formula]

welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung
setzt. Hier ist [formula] eben auch eine Grsse zweiter Ordnung, und es
findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.




. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines
complexen Argumentes.


Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben,
bertragen wir auf sie, was wir in den . 3 und 4 betreffs rationaler
Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch,
dass alle frher aufgestellten Stze auch fr unendlich grosses _z_ und
somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel
den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu berlegen und ber die
Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken(8). Aber es
ist eine andere wichtige Frage, welche sich bei solchen Untersuchungen
aufdrngt. Die verschiedenen Functionen des Ortes, welche wir auf der
Kugelflche studiren, sind zugleich Functionen des _Argumentes_ [formula].
Woher dieser Zusammenhang?

Man wolle vor allen Dingen bemerken, dass [formula] selbst eine complexe
Function des _Ortes_ auf unserer Kugel ist; gengen doch _x_ und _y_, fr
_u_ und _v_ eingesetzt, den frher (. 1) fr letztere aufgestellten
Differentialgleichungen. So lange man in der Ebene operirt, knnte man
denken, dass diese Function vor den brigen etwas Wesentliches voraus
habe; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung mehr.
Und in der That verallgemeinert sich die Bemerkung, auf die sich unsere
Frage bezieht, sofort. Wenn [formula] und [formula] Functionen von
[formula] sind, so ist auch [formula] eine Function von [formula] Wir
haben also fr Ebene und Kugelflche den allgemeinen Satz: _dass von zwei
complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewhnlichen
functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function der anderen
ist_.

Wird dieses nun eine besondere Eigenthmlichkeit der genannten Flchen
sein? Sicher wird sich dieselbe auf alle solche Flchen bertragen, die
man auf einen Theil der Ebene (oder der Kugel) conform beziehen kann.
Diess folgt aus dem letzten Satze des vorigen Paragraphen. Ich sage aber,
_dass dieselbe Eigenthmlichkeit berhaupt allen Flchen zukommt_, womit
implicite behauptet wird, dass man einen Theil einer _beliebigen_ Flche
auf die Ebene oder die Kugelflche conform bertragen kann.

Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile [formula]
irgend einer auf einer Flche existirenden complexen Function des Ortes,
[formula], auf der Flche selbst als krummlinige Coordinaten einfhrt.
Dann mssen nmlich die Cofficienten _E_, _F_, _G_ in dem Ausdrucke des
Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitten entstehen, wenn man
in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen fr _p_ und _q_ und
gleichzeitig fr _u_ und _v_ bez. _x_ und _y_ einfhrt. _Diess bedingt,
wie man sofort ersieht, dass _[formula]_, _[formula]_ wird_. Hierdurch
aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:

[formula]

Sie gehen also direct in jene Gleichungen ber, durch welche man
Functionen des Argumentes [formula] zu definiren pflegt, so dass [formula]
in der That eine Function von [formula] wird, was zu beweisen war.

Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet
wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes

[formula]

folgt unmittelbar, dass unsere Flche durch [formula] auf die
[formula]-Ebene conform bertragen wird. Ich will dieses Resultat in etwas
allgemeinerer Form aussprechen, indem ich sage:

_Wenn man auf zwei Flchen zwei complexe Functionen des Ortes kennt, und
man bezieht die Flchen so aufeinander, dass entsprechende Puncte
respective gleiche Functionswerthe aufweisen, so sind die Flchen conform
auf einander bezogen._

Es ist dies die Umkehr des hnlich lautenden am Schlusse des vorigen
Paragraphen aufgestellten Satzes.

Alle diese Theoreme haben, soweit sie sich auf beliebige Flchen beziehen,
fr's Erste nur dann einen klaren Sinn, wenn man seine Aufmerksamkeit auf
kleine Stcke der Flchen beschrnkt, innerhalb deren die complexen
Functionen des Ortes weder Unendlichkeitspuncte noch Kreuzungspuncte
aufweisen. Ich habe desshalb gelegentlich auch nur von einem
Flchen_theile_ gesprochen. Aber es liegt nahe, zu fragen, wie sich die
Verhltnisse gestalten, wenn man geschlossene Flchen _in ihrer ganzen
Ausdehnung_ benutzt. Diese Frage ist mit der weiteren Ideenentwickelung,
die ich im folgenden zu geben habe, auf das Innigste verknpft; ihr
speciell sind die . 19--21 des Folgenden gewidmet.




. 7. Noch einmal die Strmungen auf der Kugel. Riemann's allgemeine
Fragestellung.


Wir haben nunmehr alle Vorbedingungen, um die Entwickelungen der ersten
Paragraphen dieser Einleitung in wesentlich neuer Weise aufzufassen und
uns vermge dieser Auffassung zu einer grossen und allgemeinen
Fragestellung zu erheben, welche die _Riemann'sche_ ist, und deren
Prcisirung und Beantwortung den eigentlichen Gegenstand der gegenwrtigen
Schrift zu bilden hat.

Das Primre bei der bisherigen Darstellung bildete die Function von
[formula]. Wir haben dieselbe durch eine stationre Strmung auf der Kugel
gedeutet, und uns bemht, Eigenschaften der Function in solchen der
Strmung wieder zu erkennen. Insbesondere haben uns die rationalen
Functionen und ihre Integrale mit einer einfachen Art von Strmungen
bekannt gemacht: es sind die _einfrmigen_ Strmungen, diejenigen, bei
denen in jedem Puncte der Kugel nur _eine_ Strmung statt hat. Und zwar
sind es unter der Voraussetzung, dass keine anderen Unstetigkeitspuncte
statt haben, als die in . 2 definirten, die _allgemeinsten_ einfrmigen
Strmungen, welche es auf der Kugel gibt.

Es scheint von Vorneherein mglich, diese ganze Entwickelung umzukehren:
_das Studium der Strmungen voranzustellen und aus ihm erst die Theorie
gewisser analytischer Functionen zu entwickeln_. Die Frage nach der
allgemeinsten in Betracht kommenden Strmung mag dann vorab durch
physikalische Betrachtungen beantwortet werden; geben uns doch die
experimentellen Anordnungen des . 4 zusammen mit dem Princip der
Ueberlagerung das Mittel, um jede derartige Strmung zu definiren! Die
einzelne Strmung bestimmt uns sodann, von einer Integrationsconstante
abgesehen, eine complexe Function des Ortes, deren allgemeinen Verlauf wir
anschauungsmssig verfolgen knnen. Jede solche Function ist eine
analytische Function jeder anderen. Indem wir irgend zwei complexe
Functionen des Ortes zusammenstellen, werden wir zu analytischen
Abhngigkeiten hingefhrt, deren Eigenschaften wir von Vorneherein
bersehen und die wir erst hinterher, um den Zusammenhang mit den
Betrachtungen der Analysis herzustellen, mit sonst in der Analysis
blichen Abhngigkeiten identificiren.

Alles dieses ist so deutlich, dass eine genauere Ausfhrung hier
berflssig erscheint, dass wir vielmehr sofort zu der in Aussicht
gestellten _Verallgemeinerung_ schreiten knnen. Auch diese bietet sich
auf Grund der bisherigen Entwickelungen fast mit Nothwendigkeit. Wir
werden alle die Fragen, welche wir gerade hinsichtlich der Kugelflche
formulirten, in gleicher Weise aufwerfen knnen, _wenn statt der
Kugelflche eine beliebige geschlossene Flche gegeben ist_. Auch auf ihr
werden wir einfrmige Strmungen und also complexe Functionen des Ortes
bestimmen knnen, deren Eigenschaften wir anschauungsmssig erfassen. Die
gleichzeitige Betrachtung verschiedener Functionen des Ortes verwandelt
hernach die zu gewinnenden Ergebnisse in ebenso viele Lehrstze der
gewhnlichen Analysis.--Die Ausfhrung dieses Gedankenganges ist _die
Riemann'sche Theorie_; zugleich haben wir die Haupteintheilung, welche bei
der folgenden Exposition derselben zu Grunde zu legen ist.





ABSCHNITT II. - EXPOSITION DER RIEMANN'SCHEN THEORIE.




. 8. Classification geschlossener Flchen nach der Zahl _p_.(9)


Fr unsere Betrachtungen sind selbstverstndlich alle diejenigen
geschlossenen Fchen als aequivalent aufzufassen, die sich durch
eindeutige Zuordnung conform auf einander abbilden lassen. Denn jede
complexe Function des Ortes auf der einen Flche wird sich bei einer
solchen Abbildung in eine ebensolche Function auf der anderen Flche
verwandeln: die analytische Beziehung also, welche durch das
Zusammenbestehen zweier complexer Functionen auf der einen Flche
versinnlicht wird, bleibt beim Uebergange zur zweiten Flche durchaus
ungendert. Wenn man also z. B. (zufolge bekannter Entwickelungen) das
Ellipsoid derart conform auf die Kugel beziehen kann, dass jedem Puncte
desselben ein und nur ein Kugelpunct entspricht, so heisst diess fr uns,
dass das Ellipsoid ebenso geeignet ist, die rationalen Functionen und ihre
Integrale zu reprsentiren, wie die Kugel.

Um so wichtiger ist es, ein Element kennen zu lernen, welches nicht nur
bei conformer, sondern berhaupt bei _eindeutiger_ Umgestaltung einer
Flche ungendert erhalten bleibt(10). _Es ist diess das __Riemann__'sche
p:_ die Zahl der Rckkehrschnitte, welche man auf einer Flche ziehen
kann, ohne sie zu zerstcken. Die einfachsten Beispiele gengen, um diesen
Begriff einzuben. Fr die Kugel ist [formula]; denn sie zerfllt durch
jede auf ihr verlaufende geschlossene Curve, in zwei getrennte Bereiche.
Fr den gewhnlichen Ring ist [formula], man kann ihn lngs einer, aber
auch nur lngs einer, brigens noch sehr willkrlichen, in sich
zurcklaufenden Curve zerschneiden, ohne dass er in Stcke zerfllt.

Dass es unmglich ist, zwei Flchen von verschiedenem _p_ eindeutig auf
einander zu beziehen, scheint evident(11). Complicirter ist es, den
umgekehrten Satz zu beweisen, _dass nmlich die Gleichheit des __p__ die
hinreichende Bedingung fr die Mglichkeit der eindeutigen Beziehung
zweier Flchen abgibt_. Ich muss mich, was den Beweis dieses wichtigen
Satzes angeht, an dieser Stelle auf blosse Citate unter dem Texte
beschrnken(12). Auf Grund desselben ist man berechtigt, bei
Untersuchungen ber geschlossene Flchen, so lange nur allgemeine
Lagenverhltnisse in Betracht kommen, fr jedes _p_ einen mglichst
einfachen Typus zu Grunde zu legen. In diesem Sinne wollen wir von
_Normalflchen_ sprechen. Fr quantitative Bestimmungen reichen die
Normalflchen natrlich in keiner Weise mehr aus; aber sie bieten auch fr
sie ein Mittel zur Orientirung.

Die Normalflche fr [formula] sei die Kugel, fr [formula] der Ring. Bei
hherem _p_ mag man sich eine Kugel mit _p_ Anhngseln (Handhaben)
versehen denken, wie folgende Figur fr [formula] aufweist: (see figure
14)

                         [Illustration: Fig. 14.]

                                 Fig. 14.


Eine hnliche Normalflche ist natrlich auch bei [formula] statthaft, wie
berhaupt man sich diese Flchen nicht als starr gegeben, sondern als
beliebiger Verzerrungen fhig denken muss.

Auf diesen Normalflchen mgen nun gewisse _Querschnitte_, von denen wir
im Folgenden Gebrauch zu machen haben, festgelegt werden. Bei [formula]
kommen dieselben noch nicht in Betracht. Auf dem Ringe [formula] mag eine
\quotedblbase Meridiancurve'' _A_, verbunden mit einer "Breitencurve" _B_
das Querschnittsystem bilden:

                         [Illustration: Fig. 15.]

                                 Fig. 15.


Allgemein gebrauchen wir [formula] Querschnitte. Es wird, denke ich, mit
Rcksicht auf die folgende Figur verstndlich sein, wenn ich bei der
einzelnen Handhabe unserer Normalflche von einer Meridiancurve und einer
Breitencurve rede:

                         [Illustration: Fig. 16.]

                                 Fig. 16.


_Wir whlen die _[formula]_ Querschnitte derart, dass wir um jede der
__p__ Handhaben eine Meridiancurve und eine Breitencurve herumlegen._ Wir
wollen diese Querschnitte der Reihe nach mit [formula], [formula],
[formula], beziehungsweise [formula], [formula], [formula] bezeichnen.




. 9. Vorlufige Bestimmung stationrer Strmungen auf beliebigen Flchen.


Wir haben uns nun mit der Aufgabe zu beschftigen, auf beliebigen
(geschlossenen) Flchen die allgemeinsten einfrmigen, stationren
Strmungen mit Geschwindigkeitspotential zu definiren, immer unter der
Voraussetzung, dass keine anderen Unendlichkeitspuncte zugelassen werden
sollen, als die in . 2 genannten(13). Zu dem Zwecke richten wir unsere
Ideen auf die Normalflchen des vorigen Paragraphen und benutzen brigens
wieder Vorstellungen der Elektricittslehre. Die gegebene Flche denken
wir uns mit einem unendlich dnnen gleichfrmigen Ueberzuge einer
leitenden Substanz versehen, und wenden zunchst diejenigen
experimentellen Mittel an, die uns von . 3 her bekannt sind. Wir werden
also zuvrderst etwa die beiden Pole einer galvanischen Batterie auf
unsere Flche an zwei beliebigen Stellen aufsetzen: es entsteht dann eine
Strmung, welche diese beiden Stellen als Quellenpuncte von
entgegengesetzt gleicher Ergiebigkeit besitzt. Wir werden sodann zwei
beliebige Puncte der Flche durch eine oder mehrere, neben einander
herlaufende, sich selbst nicht schneidende Curven verbinden, welche der
Sitz constanter elektromotorischer Krfte sein sollen,--wobei man sich
alles Dessen erinnern mag, was in . 4 betreffs der dann nothwendig
werdenden experimentellen Anordnung gesagt wurde. Wir erhalten dann eine
stationre Bewegung, fr welche die beiden Puncte Wirbelpuncte von
entgegengesetzt gleicher Intensitt sind.--Wir werden ferner verschiedene
solche Bewegungsformen berlagern und endlich, wenn es nthig scheint,
getrennte Unendlichkeitspuncte durch Grnzbergang zu hheren
Unendlichkeitspuncten zusammenfallen lassen. Alles das gestaltet sich
genau so, wie auf der Kugel, und wir haben also jedenfalls den folgenden
Satz:

_Wenn man die Art der Unendlichkeitsstellen nach Anleitung des_ . 2
_beschrnkt, wenn man ferner daran festhlt, dass die Summe smmtlicher
logarithmischer Residua allemal gleich Null sein muss, so existiren auf
unserer Flche complexe Functionen des Ortes, welche an beliebig gegebenen
Stellen in brigens beliebig gegebener Weise unendlich werden und berall
sonst stetig verlaufen._

Mit den so bestimmten Functionen ist nun aber, fr [formula], die Sache
noch keineswegs erschpft. Wir knnen nmlich eine experimentelle
Anordnung treffen, fr welche auf der Kugel noch keinerlei Mglichkeit
gegeben war. Es gibt jetzt auf der Flche in sich zurcklaufende Curven,
vermge deren die Flche keineswegs in getrennte Bereiche zerlegt wird.
Nichts steht im Wege, dass die Elektricitt von der einen Seite einer
solchen Curve durch die Flche hindurch zur anderen Seite derselben
hinberstrmt. _Wir werden eine solche Curve, oder auch mehrere neben
einander herlaufende Curven dieser Art ebensogut als Sitz constanter
elektromotorischer Krfte betrachten knnen, wie diess in_ . 4 _mit
Curvenzgen geschah, die von einem Endpuncte zu einem zweiten hinlaufen._

Die Strmungen, welche wir dann erhalten, haben berhaupt keine
Unstetigkeiten. Wir werden sie als _berall endliche Strmungen_ und die
zugehrigen complexen Functionen des Ortes als _berall endliche
Functionen_ bezeichnen knnen. Diese Functionen sind nothwendig unendlich
vieldeutig. Denn sie erhalten jeweils einen reellen, der angenommenen
elektromotorischen Kraft proportionalen Periodicittsmodul, so oft man die
gegebene Curve in demselben Sinne berschreitet(14)

Wir fragen, wie mannigfach die so definirten berall endlichen Strmungen
sein mgen. Offenbar sind zwei auf derselben Flche verlaufende Curven,
als Sitz gleich starker elektromotorischer Krfte betrachtet, fr unseren
Zweck _aequivalent_, wenn sie sich durch stetige Verschiebung ber die
Flche hin zur Deckung bringen lassen. Verzerrt man eine Curve so, dass
Curvenstcke auftreten, welche zweimal in entgegengesetzter Richtung
durchlaufen werden, so drfen dieselben einfach weggelassen werden. In
Folge dessen beweist man, _dass eine jede geschlossene Curve einer
ganzzahligen Combination der Querschnitte _[formula]_, _[formula]_, wie
diese im vorigen Paragraphen definirt wurden, aequivalent ist_.

                         [Illustration: Fig. 17.]

                                 Fig. 17.


                         [Illustration: Fig. 18.]

                                 Fig. 18.


In der That, man verfolge den Weg einer geschlossenen Curve auf unserer
Normalflche(15). Fr [formula] wird die Richtigkeit unserer Behauptung
dann unmittelbar evident. Es gengt, ein Beispiel zu betrachten, wie es in
den vorstehenden Figuren vorliegt.

Die in Figur 17 auf der Ringflche verlaufende Curve ist mit der anderen,
welche rechter Hand gezeichnet ist, durch blosse Verzerrung zur Deckung zu
bringen, sie ist also mit einer dreifachen Durchlaufung der Meridiancurve
_A_ (vergl. Fig. 15) und einer einfachen Durchlaufung der Breitencurve _B_
aequivalent.--Sei ferner [formula]. So oft dann unsere Curve ber eine der
_p_ Handhaben verluft, kann man ein Stck von ihr abtrennen, das sich
durch blosse Verzerrung in eine ganzzahlige Verbindung der betreffenden
Meridiancurve und der zugehrigen Breitencurve verwandeln lsst. Nach
Absonderung aller solcher Bestandtheile bleibt eine geschlossene Curve
brig, die sich entweder unmittelbar in einen einzelnen Punct der Flche
zusammenziehen lsst und also jedenfalls keinen Beitrag zur elektrischen
Strmung liefert, oder die eine oder mehrere Handhaben vllig umschliesst,
wovon Figur 19 ein Beispiel aufweist:

                         [Illustration: Fig. 19.]

                                 Fig. 19.


                         [Illustration: Fig. 20.]

                                 Fig. 20.


Die Figur 20 erlutert, wie man eine solche Curve durch Deformation
verndern kann. Durch Fortsetzung des hierdurch angedeuteten Processes
verwandelt sie sich in einen Curvenzug, der aus der inneren Randcurve der
betreffenden Handhabe und einer zugehrigen Meridiancurve besteht, dessen
Stcke aber beide zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen
werden. Also auch eine solche Curve gibt keinen Beitrag zur Strmung. Man
htte dieses brigens auch von Vorneherein aus der Bemerkung ersehen
knnen, dass die jetzt betrachtete Curve, gleich einer solchen, die sich
in einen Punct zusammenziehen lsst, die gegebene Flche in getrennte
Gebiete zerlegt.

Wir erzielen daher durch Heranziehen beliebiger geschlossener Curven nicht
_mehr_, als durch geeignete Benutzung der [formula] Curven [formula],
[formula]. Die allgemeinste berall endliche Strmung, welche wir
hervorrufen knnen, wird entstehen, wenn wir jeden der [formula]
Querschnitte zum Trger einer beliebigen constanten elektromotorischen
Kraft machen. Oder anders ausgedrckt:

_Die allgemeinste von uns zu construirende berall endliche Function ist
diejenige, deren reeller Theil an den _[formula]_ Querschnitten beliebig
vorgegebene Periodicittsmoduln aufweist._




. 10. Die allgemeinste stationre Strmung. Beweis fr die Unmglichkeit
anderweitiger Strmungen.


Wenn wir die verschiedenen im vorigen Paragraphen construirten complexen
Functionen des Ortes additiv zusammenfgen, so erhalten wir eine Function,
deren Willkrlichkeit wir sofort bersehen. Indem wir die Bedingungen, die
hinsichtlich der Unendlichkeitsstellen ein fr allemal vorgeschrieben
sind, nicht noch besonders erwhnen, knnen wir sagen: _dass unsere
Function an beliebig gegebenen Stellen in beliebig gegebener Weise
unendlich wird und berdiess ihr reeller Theil an den _[formula]_
Querschnitten beliebig gegebene Periodicittsmoduln aufweist_.

Ich sage nun, _dass diess in der That die allgemeinste Function ist, der
auf unserer Flche eine einfrmige Strmung entspricht_. Zum Beweise mgen
wir diese Behauptung auf eine einfachere reduciren. Ist irgend eine
complexe Function der in Betracht kommenden Art auf unserer Flche
gegeben, so haben wir im Vorhergehenden das Mittel, eine zugehrige
Function zu construiren, welche an denselben Stellen in derselben Weise
unendlich wird, und deren reeller Theil an den Querschnitten [formula],
[formula] dieselben Periodicittsmoduln aufweist, wie der reelle Theil der
gegebenen Function. Die Differenz der beiden Functionen ist eine neue
Function, welche nirgendwo unendlich wird und deren reeller Theil an den
Querschnitten verschwindende Periodicittsmoduln besitzt, welche
berdiess, wie selbstverstndlich, wiederum eine einfrmige Strmung
definirt. _Offenbar haben wir zu beweisen, dass eine_ _solche Function
nicht existirt, oder vielmehr, dass sie sich auf eine Constante reducirt._

Und in der That ist dieser Beweis nicht schwierig. Was eine Durchfhrung
desselben in strenger Form betrifft, so will ich mich darauf beschrnken,
zu bemerken, dass dieselbe mit Hlfe des verallgemeinerten _Green_'schen
Satzes gelingt(16). Die folgenden Betrachtungen sollen auf
_anschauungsmssigem Wege_ dieselbe Unmglichkeit darthun. Mag man
dieselben wegen der unbestimmten Form, die sie besitzen, vielleicht auch
nicht als zwingend erachten(17), so scheint es doch ntzlich, auch in
dieser Weise den Grnden fr das Bestehen jenes Theoremes nachzugehen.

Wir mgen den besonderen Fall [formula] vorweg nehmen und uns also fragen,
wesshalb auf der Kugel eine einfrmige, berall endliche Strmung
unmglich ist. Das Zweckmssigste scheint es zu sein, den Verlauf der
Strmungscurven auf der Kugel zu verfolgen. Da Unendlichkeitspuncte nicht
auftreten sollen, so kann eine Strmungscurve nicht pltzlich abbrechen,
wie es in einem Quellenpuncte, oder in einem algebraischen
Unstetigkeitspuncte geschieht. Ueberdiess halte man vor Augen, dass neben
einander herlaufende Strmungscurven nothwendig gleichen Strmungssinn
haben. Man erkennt dann, dass nur zweierlei Arten von nicht abbrechenden
Strmungscurven mglich sind. Entweder die Curve windet sich, je lnger um
so enger, um einen asymptotischen Punct--dann haben wir wieder einen
Unendlichkeitspunct--, oder die Curve ist geschlossen. Ist aber _eine_
Strmungscurve geschlossen, so sind es die nchstfolgenden auch. Dabei
schliessen sie einen kleineren und kleineren Theil der Kugelflche ein. Es
kann also nicht fehlen, dass man zu einem Wirbelpuncte, d. h. abermals zu
einem Unendlichkeitspuncte gefhrt wird. Eine berall endliche Strmung
ist also in der That unmglich. Allerdings haben wir der Mglichkeit nicht
gedacht, die in dem Auftreten von Kreuzungspuncten liegt. Diese Puncte
sind jedenfalls nur, wie oben hervorgehoben, in endlicher Zahl vorhanden.
Es wird also nur eine endliche Zahl von Strmungscurven geben, welche
durch sie hindurchlaufen. Man denke sich die Kugel durch diese Curven in
Gebiete zerlegt und wiederhole innerhalb der einzelnen Gebiete die gerade
angestellten Betrachtungen, wobei sich das frhere Resultat von Neuem
ergeben wird.

Nehmen wir nun [formula] und legen wieder die Normalflchen des . 8 zu
Grunde. Dass auf diesen Flchen berall endliche, einfrmige Strmungen
existiren, liegt nach dem gerade Gesagten an dem Auftreten der Handhaben.
Eine auf der Normalflche gezogene geschlossene Curve, die sich in einen
Punct zusammenziehen lsst, kann ebensowenig, wie eine geschlossene Curve
auf der Kugel, Strmungscurve fr eine berall endliche Strmung sein.
Aber auch eine Curve, wie wir sie in Figur (19) betrachteten, ist nicht zu
brauchen. Denn an eine erste solche Strmungscurve mssen sich weitere
schliessen nach Art der in Figur (20) dargestellten,--so dass wir zuletzt
zu einer Curve gelangen, deren Theile zweimal in entgegengesetztem Sinne
durchlaufen werden! Die Strmungscurve muss also nothwendig sich um die
eine oder andere Handhabe _herumwinden_, mag diess ein einfaches Umfassen
jener Handhabe sein, oder ein wiederholtes Umkreisen derselben im Sinne
der Meridian- oder der Breitencurven. In allen Fllen lsst sich von der
Strmungscurve ein Theil abtrennen, der im Sinne des vorigen Paragraphen
mit einer ganzzahligen Combination der betreffenden Meridiancurve und der
zugehrigen Breitencurve aequivalent ist. Nun wchst _u_, der reelle Theil
der durch die Strmung definirten complexen Function, fortwhrend, wenn
man lngs einer Strmungscurve fortschreitet. Andererseits liefern zwei
Curven, welche im Sinne des vorigen Paragraphen aequivalent sind, bei
Durchlaufung nothwendig dieselben Incremente von _u_. Es gibt also eine
Combination wenigstens einer Meridiancurve und einer Breitencurve, deren
Durchlaufung einen nicht verschwindenden Zuwachs von _u_ herbeifhrt. Das
Gleiche gilt nothwendig von der betreffenden Meridiancurve oder der
Breitencurve selbst. Der Zuwachs aber, den _u_ beim _Durchlaufen_ der
Meridiancurve gewinnt, entspricht dem _Ueberschreiten_ der Breitencurve,
und umgekehrt. Daher hat _u_ nothwendig wenigstens an einer Breitencurve
oder Meridiancurve einen nicht verschwindenden Periodicittsmodul, und
eine berall endliche, einfrmige Strmung, bei der alle diese
Periodicittsmoduln gleich Null sind, ist in der That unmglich, w. z. b.
w.




. 11. Erluterung der Strmungen an Beispielen.


Es scheint sehr ntzlich, sich her den allgemeinen Verlauf der nunmehr
definirten Strmungen an Beispielen zu orientiren, damit nmlich unsere
Stze nicht blosse abstracte Formulirungen bleiben, sondern mit concreten
Vorstellungen verbunden werden(18). Es gelingt diess im gegebenen Falle
ziemlich leicht, so lange man sich auf qualitative Verhltnisse
beschrnkt; die genaue quantitative Bestimmung wrde selbstverstndlich
ganz andere Hlfsmittel erfordern. Ich will mich dabei der Einfachheit
halber auf solche Flchen beschrnken, bei denen eine Symmetrieebene
existirt, die mit der Ebene der Zeichnung zusammenfllt,--und auf diesen
Flchen nur solche Strmungen in Betracht ziehen, bei denen der scheinbare
Umriss der Flche (d. h. der Schnitt der Flche mit der Zeichnungsebene)
entweder Strmungscurve oder Niveaucurve ist. Man hat dann den
wesentlichen Vortheil, dass man die Strmungscurven nur auf der
_Vorderseite_ der Flche zu zeichnen braucht; denn auf der Rckseite
verlaufen sie genau gerade so(19).

                         [Illustration: Fig. 21.]

                                 Fig. 21.


Beginnen wir mit berall endlichen Strmungen auf dem Ringe [formula]. Wir
betrachten zunchst eine Breitencurve (oder mehrere solche Curven) als
Sitz der elektromotorischen Kraft. Dann entsteht die Figur 21, in der alle
Strmungscurven Meridiancurven sind und Kreuzungspuncte nicht auftreten.
Die Meridiancurven sind dabei durch Stcke radial verlaufender gerader
Linien vorgestellt. Die Pfeilspitzen geben die Strmungsrichtung auf der
Vorderseite, auf der Rckseite haben wir durchweg den umgekehrten
Bewegungssinn.

Bei der conjugirten Strmung spielen die Breitencurven die analoge Rolle,
wie soeben die Meridiancurven; dieselbe mag durch folgende Zeichnung
erlutert sein:

                         [Illustration: Fig. 22.]

                                 Fig. 22.


Der Bewegungssinn ist in diesem Falle auf Vorder- und Rckseite derselbe.

                         [Illustration: Fig. 23.]

                                 Fig. 23.


                         [Illustration: Fig. 24.]

                                 Fig. 24.


Wir wollen nun den Ring [formula] dadurch umndern, dass wir, etwa auf der
rechten Seite der Figur, zwei Ausstlpungen aus ihm hervorwachsen lassen,
die sich allmhlich zusammenbiegen und schliesslich verschmelzen. _So
haben wir eine Flche_ [formula] _und auf ihr ein Paar conjugirter
Strmungen, wie es die Figuren_ 23 _und_ 24 _erlutern._

Es haben sich, wie man erkennt, rechter Hand zwei _Kreuzungspuncte_
eingestellt (von denen natrlich nur einer auf der Vorderseite gelegen und
also sichtbar ist). Etwas Analoges tritt jedesmal ein, wenn man berall
endliche Strmungen auf einer Flche [formula] studirt. Ich setze statt
weiterer Erluterungen noch zwei Figuren mit je vier Kreuzungspuncten her,
die sich auf [formula] beziehen:

                         [Illustration: Fig. 25.]

                                 Fig. 25.


                         [Illustration: Fig. 26.]

                                 Fig. 26.


Dieselben entstehen, wenn man auf smmtlichen "Handhaben" der Flche
einmal in den Breitencurven, das andere Mal in den Meridiancurven
elektromotorische Krfte wirken lsst. Auf den beiden unteren Handhaben
sind dieselben in gleichem Sinne orientirt, bei der oberen im
entgegengesetzten. Von den Kreuzungspuncten liegen zwei bei _a_ und _b_,
der dritte bei _c_, der vierte an der entsprechenden Stelle der Rckseite.
Es sind die Kreuzungspuncte bei _a_ und _b_ in Figur (25) nur desshalb
schwer zu erkennen, weil am Rande der Figur bei der von uns gewhlten
Darstellungsweise eine perspectivische Verkrzung eintritt und daher beide
im Kreuzungspuncte zusammentreffende Strmungscurven den Rand zu berhren
scheinen. Denkt man sich die (in entgegengesetzter Richtung)
stattfindenden Strmungen auf der Rckseite der Flche hinzu, so kann ber
die Natur dieser Puncte wohl keine Unklarheit bestehen.

Gehen wir nun zum Ringe [formula] zurck und lassen bei ihm zwei
logarithmische Unstetigkeitspuncte gegeben sein! Man erhlt zugehrige
Figuren, wenn man die Zeichnungen (23) und (24) einem Deformationsprocesse
unterwirft, der auch in allgemeineren Fllen ebenso interessant als
ntzlich ist. Wir wollen nmlich die Partieen linker Hand in den einzelnen
Figuren zusammenziehen, die rechter Hand ausdehnen, so dass wir zunchst
etwa folgende Bilder erhalten:

                         [Illustration: Fig. 27.]

                                 Fig. 27.


                         [Illustration: Fig. 28.]

                                 Fig. 28.


und nun die linker Hand bereits sehr schmal gewordene "Handhabe" vollends
zur Curve zusammenziehen, um sie dann wegzuwerfen. _So ist aus der berall
endlichen Strmung auf der Flche _[formula]_ eine Strmung mit zwei
logarithmischen Unstetigkeitspunkten auf der Flche _[formula]_ geworden._
Die Figuren haben nmlich folgende Gestalt angenommen:

                         [Illustration: Fig. 29.]

                                 Fig. 29.


                         [Illustration: Fig. 30.]

                                 Fig. 30.


Die beiden Kreuzungspuncte von (23), (24) sind geblieben; _m_ und _n_ sind
die beiden logarithmischen Unstetigkeitspuncte. Und zwar sind dieselben im
Falle der Figur 29 Wirbelpuncte von entgegengesetzt gleicher Intensitt,
im Falle der Figur 30 Quellenpuncte von entgegengesetzt gleicher
Ergiebigkeit. Dabei ist es wieder eine Folge der von uns gewhlten
Projectionsart, wenn im zweiten Falle smmtliche Strmungscurven, von
einer einzigen abgesehen, in _m_ und _n_ den Rand zu berhren scheinen.

Wollen wir endlich _m_ und _n_ zusammenrcken lassen, so dass ein
algebraischer Unstetigkeitspunct von einfacher Multiplicitt entsteht, so
kommen folgende Zeichnungen, bei denen, wie man beachten mag, die
Kreuzungspuncte nach wie vor an ihrer Stelle geblieben sind:

                         [Illustration: Fig. 31.]

                                 Fig. 31.


                         [Illustration: Fig. 32.]

                                 Fig. 32.


Ich will diese Figuren nicht noch mehr vervielfltigen, da weitere
Beispiele nach Art der nunmehr betrachteten leicht zu bilden sind. Nur der
eine Umstand werde noch hervorgehoben. Die Zahl der Kreuzungspunkte einer
Strmung wchst offenbar mit dem _p_ der Flche und mit der Zahl der
Unendlichkeitspunkte. Algebraische Unendlichkeitspuncte von der
Multiplicitt _r_ mgen als [formula] logarithmische Unendlichkeitspuncte
gezhlt werden. Dann ist auf der Kugel bei [formula] logarithmischen
Unendlichkeitspunkten die Anzahl der eigentlichen Kreuzungspunkte
allgemein [formula]. Andererseits ist mit der Zunahme von _p_ um eine
Einheit nach unseren Beispielen eine Zunahme der Zahl der Kreuzungspunkte
um zwei Einheiten verbunden. _Hiernach wird man vermuthen, dass die Zahl
der Kreuzungspuncte berhaupt _[formula]_ sein wird._ Ein strenger Beweis
dieses Satzes auf Grund der bisher entwickelten Anschauungen hat
jedenfalls keine besondere Schwierigkeit(20); er wrde hier aber zu weit
fhren. Der einzige Specialfall unseres Satzes, den wir spter gebrauchen
werden, ist auf Grund der gewhnlichen Untersuchungen der Analysis situs
bekannt: es handelt sich bei ihm (. 14) um solche Strmungen, bei denen
_m_ einfache algebraische Unstetigkeitspuncte vorhanden sind, bei denen
also [formula] Kreuzungspuncte auftreten mssen.




. 12. Ueber die Zusammensetzung der allgemeinsten complexen Function des
Ortes aus einzelnen Summanden.


Der Beweisgang des . 10 setzt uns in den Stand, von der allgemeinsten auf
einer Flche existirenden complexen Function des Ortes uns dadurch eine
concretere Vorstellung zu machen, dass wir dieselbe aus einzelnen
Summanden von mglichst einfacher Eigenschaft additiv zusammensetzen.

Betrachten wir zuvrderst _berall endliche_ Functionen.

Es seien [formula] berall endliche Potentiale. Dieselben mgen _linear
abhngig_ heissen, wenn zwischen ihnen eine Relation

[formula]

mit constanten Cofficienten besteht. Eine solche Beziehung liefert
entsprechende Gleichungen fr die [formula] Serien von [formula]
Periodicittsmoduln, welche [formula] an den [formula] Querschnitten der
Flche besitzen. Umgekehrt wrde, nach dem in . 10 bewiesenen Satze, aus
solchen Gleichungen zwischen den Periodicittsmoduln die lineare Relation
zwischen den _u_ selbst hervorgehen. Es ergiebt sich so, _dass man auf
mannigfachste Weise _[formula]_ linear unabhngige berall endliche
Potentiale_

[formula]

_finden kann, dass sich aber aus ihnen jedes andere berall endliche
Potential linear zusammensetzt:_

[formula]

In der That kann man [formula] z. B. derart whlen, dass jedes nur an
einem der [formula] Querschnitte einen nicht verschwindenden
Periodicittsmodul besitzt (wobei natrlich jedem Querschnitte ein und nur
ein Potential zugewiesen werden soll). Hernach kann man in [formula] die
Constanten [formula] so bestimmen, dass dieser Ausdruck an smmtlichen
[formula] Querschnitten dieselben Periodicittsmoduln aufweist, wie _u_.
Dann ist [formula] eine Constante, und wir haben also die vorstehende
Formel.

Um nun von den Potentialen u zu den berall endlichen Functionen [formula]
berzugehen, denke ich mir der Einfachheit halber ein solches
Coordinatensystem [formula] auf der Flche eingefhrt (. 6), dass
[formula] durch die Gleichungen verknpft sind:

[formula]

Sei jetzt [formula] ein beliebiges berall endliches Potential. Wir bilden
das zugehrige [formula] und haben:

[formula]_ und _[formula]_ sind jedenfalls linear unabhngig._

Denn wenn zwischen [formula] eine Gleichung

[formula]

mit constanten Cofficienten bestnde, so wrde dieselbe die folgenden
Relationen begrnden:

[formula]

aus denen vermge der angegebenen Beziehungen das widersinnige Resultat

[formula]

folgen wrde.

Es sei nun ferner [formula] von [formula] und [formula] linear unabhngig.
Dann nehmen wir das zugehrige [formula] und haben dann den allgemeineren
Satz:

_Die vier Functionen _[formula]_ sind ebenfalls linear unabhngig._

In der That knnte man aus jeder linearen Relation:

[formula]

durch Benutzung der zwischen den [formula] bestehenden Beziehungen die
folgenden Gleichungen ableiten:

[formula]

aus denen durch Integration eine lineare Abhngigkeit zwischen [formula]
folgen wrde.--

So vorwrts schliessend bekommt man endlich [formula] linear unabhngige
Potentiale:

[formula]

wo jedes _v_ mit dem gleichbezeichneten _u_ zusammengehrt. Wir setzen
[formula] und nennen nunmehr berall endliche Functionen [formula] linear
unabhngig, wenn zwischen ihnen keinerlei Relation:

[formula]

besteht, unter [formula] beliebige complexe Constanten verstanden. Dann
haben wir sofort:

_Die __p__ berall endlichen Functionen_

[formula]

_sind linear unabhngig._

Wenn nmlich eine lineare Abhngigkeit bestnde, so knnte man in ihr das
Reelle und Imaginre sondern und erhielte dadurch lineare Beziehungen
zwischen den _u_ und _v_.

Des Weiteren aber folgt: _Jede beliebige berall endliche Function setzt
sich aus unseren _[formula]_ in der Form zusammen:_

[formula]

In der That knnen wir durch geeignete Wahl der complexen Constanten
[formula] bei der linearen Unabhngigkeit der [formula] erreichen, dass
eine durch vorstehende Formel definirte Function _w_ an den [formula]
Querschnitten beliebig vorgegebene Grssen als Periodicittsmoduln des
reellen Theils aufweist.

Diess ist das Theorem, welches wir hinsichtlich der Darstellung berall
endlicher Functionen im gegenwrtigen Paragraphen aufzustellen hatten. Der
Uebergang zu _Functionen mit Unendlichkeitsstellen_ ist nun sehr leicht zu
bewerkstelligen.

Es seien [formula] die Punkte, in denen unsere Function in irgendwie
vorgeschriebener Weise unendlich werden soll. Wir wollen dann einen
Hlfspunct [formula] einfhren und eine Reihe von einzelnen Functionen

[formula]

construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [formula],
und zwar in der fr diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden
soll und berdies in [formula] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct
besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [formula]
gehrigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die
Summe

[formula]

wird dann in [formula] stetig; denn die Summe aller zu den
Unstetigkeitspuncten [formula] gehrigen Residua ist, wie wir wissen,
gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [formula] und nur in den
[formula], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie
unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine berall
endliche Function. _Die gesuchte Function ist also in der Gestalt
darstellbar:_

[formula]

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden
haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in . 4 fr die auf
der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir
damals, wie man es gewhnlich thut, der Lehre von der
_Partialbruchzerlegung rationaler Functionen_ entnahmen.




. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung
eindeutiger Functionen.


Die Functionen [formula], welche wir auf unseren Flchen studieren, sind
im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder
logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicittsmodul mit sich,
andererseits haben wir die Periodicittsmoduln an den [formula]
Querschnitten [formula], deren reelle Theile wir willkrlich annehmen
konnten. Ich sage nun, _dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von
_[formula]_ in der That erschpft ist_. Zum Beweise mssen wir auf den
Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Flche zurckgreifen,
den wir in . 9 zunchst zu anderem Zwecke einfhrten. Da die
Differentialquotienten von _u_ und _v_ (oder, was dasselbe ist, die
Componenten der zugehrigen Strmung) auf unserer Flche durchweg
eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche
durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei
Durchlaufung denselben Zuwachs von _u_, wie von _v_. Nun fanden wir aber,
dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der
Querschnitte [formula] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (. 10), dass
die Durchlaufung von [formula] denjenigen Periodicittsmodul liefert,
welcher der Ueberschreitung von [formula] entspricht, und umgekehrt.
Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, _eindeutige_ Functionen des
Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche
Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein _algebraische_
Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafr sorgen, dass die [formula]
Periodicittsmoduln an den Querschnitten [formula] smmtlich verschwinden.
Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur
_einfache_ algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn
wir wissen ja aus . 3, dass der [formula]-fache algebraische
Unstetigkeitspunct durch Zusammenrcken von [formula] einfachen entstehen
kann, wobei brigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der
Gesammtmultiplicitt [formula] absorbirt werden. Seien also _m_ Puncte als
einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben.
So wollen wir zuerst irgend _m_ Functionen des Ortes bilden: [formula] von
denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch
unendlich werden soll aber brigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus
diesen _Z_ setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche
an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem
vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:

[formula]

unter [formula] beliebige constante Cofficienten verstanden. Um eine
eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicittsmoduln, welche
dieser Ausdruck an den [formula] Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber
diese Periodicittsmoduln setzen sich vermge der [formula] aus den
Periodicittsmoduln der [formula] linear zusammen. _Wir finden also
_[formula]_ lineare homogene Gleichungen fr die _[formula]_ Constanten
__a__ und __c__._ Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear
unabhngig sind(21). Dann kommt der wichtige Satz:

_Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei __m__ beliebig
vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten nur dann
eindeutige Functionen des Ortes, wenn _[formula]_ ist, und zwar enthalten
diese Functionen _[formula]_ linear vorkommende willkrliche Constante._

Man denke sich jetzt die _m_ Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten
_m_ neue Willkrlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar,
dass man beliebige _m_ Puncte auf der Flche durch continuirliche
Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir knnen also sagen,
indem wir uns brigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht
haben:

_Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit __m__ einfachen
algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener Flche existiren,
bildet ein Continuum von _[formula]_ Abmessungen._

Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen Functionen
haben kennen lernen, wollen wir auf mglichst anschauungsmssigem Wege
noch eine andere wichtige Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl _m_
der Unendlichkeitspuncte unserer Function hat nmlich fr letztere eine
noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, _dass unsere Function
_[formula]_ jeden beliebig vorgegebenen Werth _[formula]_ genau an __m__
Stellen annimmt._

Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven [formula] auf unserer
Flche. Nach . 2 ist klar, dass jede dieser Curven einen Ast durch jeden
der _m_ Unendlichkeitspuncte hindurchschickt. Andererseits folgt aus
Betrachtungen, wie wir sie in . 10 entwickelten, dass jeder Curvenast
mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss. Hiernach ist fr sehr
grosse [formula] die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar klar. Denn
die betreffenden Curven [formula] gehen dann in der Nhe des einzelnen
Unendlichkeitspunctes nach . 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct
hindurchlaufende Kreise ber, welche nothwendig neben dem (hier nicht
weiter in Betracht kommenden) Unstetigkeitspuncte noch je _einen_
Schnittpunct gemein haben:

                         [Illustration: Fig. 33.]

                                 Fig. 33.


Hieraus aber folgt die Sache allgemein. _Denn die Curven _[formula]_,
_[formula]_ knnen bei continuirlicher Aenderung von _[formula]_,
_[formula]_ niemals einen Schnittpunct verlieren._ Es knnte diess nmlich
nach dem Gesagten nur so geschehen, dass mehrere Schnittpuncte
zusammenrckten, um dann in geringerer Zahl wieder aus einander zu treten.
Nun bilden die Curven [formula] ein Orthogonalsystem. Ein Zusammenrcken
reeller Schnittpuncte ist also nur in den Kreuzungspuncten mglich (in
denen es auch wirklich geschieht). Die Kreuzungspuncte aber sind nur in
endlicher Zahl vorhanden, und also nicht im Stande, die Flche in
verschiedene Gebiete zu zerlegen. Die Eventualitt des Zusammenrckens ist
also berhaupt nicht in Betracht zu ziehen, und somit unsere Behauptung
bewiesen.

Es ist brigens fr das Folgende ntzlich, sich die Vertheilung der Werthe
von [formula] in der Nhe eines Kreuzungspunctes deutlich zu machen.
Hierzu gengt eine aufmerksame Beobachtung der oben gegebenen Figur 1. Man
erkennt zumal, dass von den _m_ beweglichen Schnittpuncten der Curven
[formula], [formula] bei Annherung an den [formula]-fachen Kreuzungspunct
[formula] zusammenrcken.--

Analoge Betrachtungen, wie wir sie hiermit fr eindeutige Functionen
erledigt haben, finden natrlich auch bei vieldeutigen Functionen ihre
Stelle. Ich gehe auf sie nur desshalb nicht ein, weil es die im Folgenden
festgehaltene Umgrnzung des Stoffes nicht nthig macht. Auch kommt nur in
den allereinfachsten Fllen ein bersichtliches Resultat. Sei in dieser
Beziehung daran flchtig erinnert, dass eine complexe Function mit mehr
als zwei incommensurabeln Periodicittsmoduln an jeder Stelle jedem
beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.




. 14. Die gewhnlichen Riemann'schen Flchen ber der x + iy-Ebene.


Statt die Vertheilung der Functionswerthe [formula] auf der ursprnglichen
Flche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren
einschlagen. Man deute nmlich die Functionswerthe--welche dementsprechend
jetzt [formula] genannt werden sollen--in gewhnlicher Weise in der Ebene
(oder auch auf der Kugel(22) und studiere die _conforme Abbildung_, welche
demzufolge (nach . 5) von unserer ursprnglichen Flche entworfen wird.
Wir beschrnken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der
eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch
die Abbildung durch mehrdeutige Fuuctionen in Betracht zu ziehen(23).

Eine kurze Ueberlegung zeigt, _dass wir so gerade zu der mehrblttrigen,
mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, ber der _[formula]_-Ebene
ausgebreiteten Flche gefhrt werden, welche man gewhnlich als
Riemann'sche Flche schlechthin bezeichnet._

In der That, sei _m_ die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche
[formula] auf der ursprnglichen Flche besitzt. Es nimmt dann [formula],
wie wir sahen, _jeden_ Werth auf der gegebenen Flche _m_-mal an. _Daher
berdeckt die conforme Abbildung unserer Flche auf die _[formula]_-Ebene
die letztere im Allgemeinen mit __m__ Blttern._ Eine Ausnahmestellung
nehmen nur diejenigen Werthe von [formula] ein, fr welche einige der _m_
auf der ursprnglichen Flche zugehrigen Stellen zusammenfallen, denen
also _Kreuzungspuncte_ entsprechen. Man ziehe zum Verstndnisse noch
einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung
eines [formula]-fachen Krenzungspunctes derart in [formula] Sectoren
zerlegen kann, dass [formula] innerhalb jedes Sectors denselben
Werthvorrath durchluft. _Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle
der _[formula]_ Ebene _[formula]_ Bltter der conformen Abbildung derart
zusammenhngen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein
zweites, von diesem in ein drittes fhrt etc., und dass eine
_[formula]_-malige Umlaufung derselben nthig wird, um zum Anfangspuncte
zurckzugelangen._ Diess ist aber genau, was man gewhnlich als einen
[formula]-fachen _Verzweigungspunct_ bezeichnet(24). Dabei ist die
Abbildung in diesem Puncte selbst natrlich keine conforme mehr; man
beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprnglichen
Flche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander
bilden, auf der ber der [formula]-Ebene ausgebreiteten Riemann'schen
Flche genau mit [formula] multiplicirt erscheint.--

_Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblttrige
Flche fr unsere Zwecke beanspruchen kann._ Alle Flchen, welche durch
conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind fr uns
gleichbedeutend (. 8). Wir knnen also die _m_-blttrige Flche ber der
Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Flche, die wir
uns ohne jedes singulre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten.
Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der
Verzweigungspuncte erblicken knnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir
werden nur solche Strmungen auf der mehrblttrigen Flche in Betracht
ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart
verhalten, dass sie rckwrts auf die im Raume gelegene ursprngliche
Flche bertragen dort keine anderen singulren Vorkommnisse darbieten,
als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nthig, dass man eine
entsprechende im Raume gelegene Flche kennt; handelt es sich doch nur um
Verhltnisse in der nchsten Umgebung der Verzweigungspuncte, d. h. um
differentielle Relationen, denen unsere Strmungen gengen mssen(25). Es
hat hiernach auch keinen Zweck mehr, wenn wir von beliebig gekrmmten
Flchen sprechen, uns diese ohne singulre Puncte zu denken: _sie mgen
selbst mit mehreren Blttern berdeckt sein, die unter sich durch
Verzweigungspuncte, beziehungsweise Verzweigungsschnitte zusammenhngen._
Aber welche unter den unbegrnzt vielen, sonach gleichberechtigten Flchen
wir auch der Betrachtung zu Grunde legen wollen: wir mssen zwischen
wesentlichen Eigenschaften unterscheiden, welche allen gleichberechtigten
Flchen gemeinsam sind, und _unwesentlichen_ Eigenschaften, die der
particulren Flche anhaften. Zu ersteren gehrt die Zahl _p_, es gehren
dahin die "Moduln", von denen in . 18 ausfhrlicher die Rede sein soll;
zu letzteren bei mehrblttrigen Flchen die Art und Lage der
Verzweigungspuncte. Wenn wir uns eine _ideale_ Flche denken, die nur jene
wesentlichen Eigenschaften besitzen soll, so entsprechen auf ihr den
Verzweigungspuncten der mehrblttrigen Flche gewhnliche Puncte, die,
allgemein zu reden, vor den brigen Puncten Nichts voraus haben, und die
erst dadurch beachtenswerth werden, dass bei der conformen Abbildung, die
von der idealen Flche zur particulren hinberfhrt, in ihnen
Kreuzungspuncte entstehen.

Das Resultat ist also dieses, _dass wir betreffs der Flchen, auf denen
wir operiren drfen, eine grssere Beweglichkeit gewonnen haben, und dass
wir zugleich die Zuflligkeiten erkennen, welche die Betrachtung jeder
einzelnen besonderen Flche mit sich bringt._ Insbesondere werden wir im
Folgenden, so oft es ntzlich scheint, mehrblttrige Flchen ber der
[formula]-Ebene in Betracht ziehen; ihre Verwendung soll aber in keiner
Weise die Allgemeinheit der Auffassung beeintrchtigen(26).




. 15. Der Ring p = 1 und die zweiblttrige Flche mit vier
Verzweigungspuncten ber der Ebene. (27)


Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz fassen knnen, da ich
die gewhnliche Riemann'sche Flche ber der Ebene mit ihren
Verzweigungspuncten als bekannt ansah. Immerhin wird es ntzlich sein,
wenn ich das Gesagte an einem Beispiele erlutere. Wir wollen einen Ring
[formula] betrachten. Auf ihm existiren nach . 13 [formula] eindeutige
Functionen mit nur zwei Unendlichkeitspuncten. Eine jede derselben besitzt
nach der allgemeinen Formel des . 11 vier Kreuzungspuncte. Der Ring ist
also auf mannigfache Weise auf eine zweiblttrige ebene Flche mit vier
Verzweigungspuncten abzubilden. Ich will den besonderen Fall, in welchem
ich diese Abbildung nunmehr betrachten werde, auf explicite Formeln
sttzen, damit auch denjenigen Lesern, die in rein anschauungsmssigen
Operationen minder gebt sind, die Sache zugnglich sei. Allerdings greife
ich damit in etwas den Entwickelungen vor, welche erst der folgende
Paragraph zu bringen bestimmt ist.

                         [Illustration: Fig. 34.]

                                 Fig. 34.


Wir wollen die Ringflche als gewhnlichen Torus voraussetzen, der durch
Rotation eines Kreises um eine denselben nicht schneidende Axe seiner
Ebene entsteht. Sei [formula] der Radius dieses Kreises, _R_ der Abstand
seines Mittelpunctes von der Axe, [formula] ein Polarwinkel.

Wir fhren die Rotationsaxe als _Z_-Axe, den Punct _O_ der Figur als
Anfangspunct eines rechtwinkligen Coordinatensystems ein und unterscheiden
die durch [formula] hindurchlaufenden Ebenen nach dem Winkel [formula],
den sie mit der positiven _X_-Axe bilden. Dann hat man fr einen
beliebigen Punct der Ringflche:

[formula]

Daher wird das Bogenelement:

[formula]

oder:

[formula]

wo

[formula]

gesetzt sein soll.

Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringflche auf die
[formula]-Ebene. Die ganze Ringflche wird offenbar einmal berstrichen,
wenn [formula] und [formula] (in den Formeln (1)) jedes von [formula] bis
[formula] luft. _Die conforme Abbildung der Ringflche berdeckt daher
ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:_

                         [Illustration: Fig. 35.]

                                 Fig. 35.


Ich habe dabei in der Figur der Krze halber statt [formula] einfach _p_
geschrieben.--Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und
Ringflche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus
dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenberstehenden Kanten des
Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring
von analoger Beschaffenheit, zerschneide ihn lngs einer Breitencurve und
einer Meridiancurve und breite ihn dann in die [formula]-Ebene aus. Ich
setze statt weiterer Erluterung eine Figur her, welche die
Verticalprojection der Ringflche von der positiven _Z_-Axe aus auf die
[formula]-Ebene vorstellt und bei der die Beziehung zur [formula]-Ebene
markirt ist:

                         [Illustration: Fig. 36.]

                                 Fig. 36.


Natrlich erblickt man nur die Oberseite der Ringflche, die auf der
Rckseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden beziehungsweise von 2 und
1 verdeckt.

Sei nun andererseits bei reellem [formula] [formula] ber der Ebene eine
zweiblttrige Flche mit vier Verzweigungspuncten [formula], [formula]
gegeben:

                         [Illustration: Fig. 37.]

                                 Fig. 37.


wobei ich mir (wie es in der Figur angedeutet ist) die beiden Halbbltter,
welche die positive Halbebene berlagern, schraffirt denken will. Dabei
sollen die Verzweigungsschnitte mit den geradlinigen Strecken zwischen
[formula] und [formula] einerseits, und [formula] und [formula]
andererseits zusammenfallen.

Diese zweiblttrige Flche reprsentirt, wie man weiss, die Verzweigung
von [formula], und zwar knnen wir, in Anbetracht der Wahl der
Verzweigungsschnitte, die Zuordnung so treffen, dass auf dem oberen Blatte
_w_ durchweg einen positiven reellen Theil besitzt. Wir betrachten nun das
Integral

[formula]

Dasselbe liefert uns in bekannter Weise die Abbildung unserer
zweiblttrigen Flche ebenfalls auf ein Rechteck, dessen nhere Beziehung
zur zweiblttrigen Flche durch folgende Figur gegeben ist, auf welcher
man die Schraffirungen und sonstigen Unterscheidungen der Figur (37)
wiederfindet:

                         [Illustration: Fig. 38.]

                                 Fig. 38.


Dem oberen Blatte von Figur (37) entspricht die linke Seite dieser Figur.
Man beachte vor Allem, wie sich die Abbildung fr die Umgebung der
Verzweigungspuncte der zweiblttrigen Flche gestaltet. Vielleicht ist es
am einfachsten, die Sache sich so vorzustellen, dass man von (37) zunchst
durch stereographische Projection zu einer zweimal berdeckten Kugelflche
bergeht, welche auf einem Meridian vier Verzweigungspuncte trgt,--dass
man die so erhaltene Flche durch einen lngs des Meridians verlaufenden
Schnitt in vier Halbkugeln zerlegt, deren einzelne man durch geeignete
Dehnung und Deformirung in der Nhe der vier Verzweigungspuncte in ein
ebenes Rechteck verwandelt,--dass man endlich die so entstehenden vier
Rechtecke entsprechend den Beziehungen zwischen den vier Halbkugeln nach
Art von Figur (38) neben einander legt. Man sieht auf diese Art auch
deutlich, dass in Figur (38) immer _zwei_ (zusammengehrige) Randpuncte
denselben Punct der ursprnglichen Flche bezeichnen.

Um nun zwischen dem Ringe und der zweiblttrigen Flche die gewnschte
Beziehung zu erzielen, haben wir nur dafr zu sorgen, dass das Rechteck
der Figur (38) durch passende Wahl des Moduls [formula] mit dem Rechtecke
der Figur (35) _hnlich_ wird. Eine proportionale Vergrsserung des einen
Rechtecks (welches auch eine conforme Umgestaltung ist) bringt dasselbe
sodann mit dem anderen Rechteck zur Deckung und vermittelt so eine
eindeutig-conforme Abbildung der zweiblttrigen Flche auf die Ringflche
(oder der letzteren auf die erstere). Es wird wiederum gengen, das
Sachverhltniss durch eine Figur zu kennzeichnen, dieselbe entspricht
genau der eben gegebenen Figur (36):

                         [Illustration: Fig. 39.]

                                 Fig. 39.


Die Schraffirung soll sich dabei nur auf die Vorderseite der Ringflche
beziehen; auf der Rckseite ist die untere Hlfte der Figur schraffirt zu
denken, die obere frei zu lassen.--

Die conforme Abbildung, welche wir wnschten, ist hiermit thatschlich
geleistet. Wir wollen jetzt rckwrts die Strmung auf der Ringflche
bestimmen, durch deren Vermittelung im Sinne des . 14 die Abbildung zu
Stande kommt. Dieselbe wird an den mit [formula], [formula] bezeichneten
Stellen Kreuzungspuncte besitzen mssen, an den beiden Stellen [formula]
algebraische Unendlichkeitspuncte von einfacher Multiplicitt. Man findet
die betreffenden Curven, die Niveaucurven sowohl wie die Strmungscurven,
am besten, wenn man sich des Rechtecks als Zwischenfigur bedient. Offenbar
bertragen sich die Curven [formula] Const., [formula] Const. der
_z_-Ebene (Figur 37) auf das Rechteck der Figur (38), wie die Figuren
(40), (41) angeben. Ich habe dabei allein den Curven [formula] Const.
Pfeilspitzen zugesetzt, um sie im Gegensatze zu den anderen als
Strmungscurven zu charakterisiren.

                         [Illustration: Fig. 40.]

                                 Fig. 40.


                         [Illustration: Fig. 41.]

                                 Fig. 41.


Man hat nun einfach diese Zeichnungen in derselben Weise zusammenzubiegen,
wie es bei Figur (35) geschildert wurde, um die Ringflche und auf ihr die
gewnschten Curvensysteme zu erhalten. Das Resultat ist das folgende:

                         [Illustration: Fig. 42.]

                                 Fig. 42.


                         [Illustration: Fig. 43.]

                                 Fig. 43.


Dabei erscheinen in Figur (42) die vier Kreuzungspuncte der Strmung
vermge der gewhlten Projectionsart als Berhrungspuncte der Niveaucurven
mit der scheinbaren Contour der Ringflche.




. 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strmungen
entsprechen.


Sei [formula], wie in . 14, eine eindeutige complexe Function des Ortes
auf unserer Flche mit _m_ algebraischen, einfachen Unendlichkeitspuncten.
Wir verwandeln unsere Flche nach Anleitung jenes Paragraphen in eine
_m_-blttrige Flche ber der [formula]-Ebene(28) und legen uns nun die
Frage vor, _in welche Functionen des Argumentes _[formula]_ die bisher
untersuchten complexen Functionen des Ortes bergehen mgen._ Man erinnere
sich dabei der Entwickelungen des . 6.

Seizunchst _w_ eine complexe Function des Ortes, welche auf unserer
Flche, ebenso wie [formula], _eindeutig_ ist. Vermge der Festsetzungen,
die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer Functionen und
insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen worden sind, ergibt sich
sofort, dass _w_ als Function von [formula] nirgendwo einen _wesentlich_
singulren Punct hat. Ueberdiess ist _w_ auf der _m_-blttrigen ber der
_z_-Ebene ausgebreiteten Flche, so gut wie auf der ursprnglichen Flche,
eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Stze: _dass __w__ eine
algebraische Function von __z__ ist_.

Dabei ist die Mglichkeit an sich nicht auszuschliessen, dass die _m_
Werthe von _w_, welche demselben _z_ entsprechen, zu je [formula]
bereinstimmen mgen (wobei [formula] natrlich ein Theiler von _m_ sein
muss). Aber jedenfalls knnen wir solche eindeutige Functionen _w_
auswhlen, bei denen dieses nicht der Fall ist. Wir bestimmten oben (.
13) die eindeutigen Functionen, indem wir ihre Unendlichkeitspuncte
willkrlich annahmen. Wir haben es daher in der Hand, das erwhnte
Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die
Unendlichkeitspuncte von _w_ so anzunehmen, dass nicht jedesmal [formula]
von ihnen dasselbe _z_ aufweisen. Dann kommt:

_Die irreducibele Gleichung, welche zwischen __w__ und __z__ besteht:_

[formula]

_hat in __w__ die _[formula]_ Ordnung._

Ebensogut wird sie in _z_ natrlich die [formula] Ordnung besitzen, wenn
_n_ die Gesammtmultiplicitt der Unendlichkeitspuncte ist, die _w_
aufweist.

Aber die Beziehung dieser Gleichung [formula] zu unserer Flche ist noch
eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung der Ordnung mit der
Bltterzahl aussagt. Zu jedem Puncte der Flche gehrt nur _ein_
Werthepaar _w_, _z_, das der Gleichung gengt, und umgekehrt gehrt zu
jedem solchen Werthepaare im Allgemeinen(29) nur ein Punct der Flche.
_Gleichung und Flche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen._

Es sei jetzt [formula] eine neue eindeutige Function auf unserer Flche,
also jedenfalls eine algebraische Function von _z_. Dann kann man die Art
dieser algebraischen Function, nachdem einmal die Gleichung [formula]
unter der angegebenen Voraussetzung gebildet ist, mit zwei Worten
kennzeichnen. Man zeigt nmlich, _dass _[formula]_ eine rationale Function
von __w__ und __z__ ist, und dass auch umgekehrt jede rationale Function
von __w__ und __z__ eine Function vom Charakter des _[formula]_ abgibt_.
Das Letztere ist selbstverstndlich. Denn eine rationale Function von _w_
und _z_ ist in unserer Flche eindeutig; berdiess als analytische
Function von _z_ eine complexe Function des Ortes in der Flche. Aber auch
das Erstere ist leicht zu beweisen(30). Man bezeichne die _m_ Werthe von
_w_, die zu einem beliebigen Werthe von _z_ gehren, mit [formula],
[formula], [formula] (allgemein [formula]), die entsprechenden Werthe von
[formula] (die nicht nothwendig alle verschieden zu sein brauchen) mit
[formula], [formula], [formula]. Dann ist die Summe:

[formula]

(wo [formula] eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl bedeuten
soll) als symmetrische Function der verschiedenen Werthe [formula] eine
eindeutige Function von _z_, und also, als algebraische Function, eine
_rationale_ Function von _z_. Aus _m_ beliebigen der so entstehenden
Gleichungen kann man [formula], [formula], [formula] als linear
vorkommende Unbekannte berechnen, und es zeigt dann eine leichte
Discussion, dass in der That das einzelne [formula] eine rationale
Function des zugehrigen [formula] und des _z_ geworden ist.--

Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch sofort den Charakter
derjenigen Functionen von _z_, welche durch die von uns in Betracht
gezogenen _mehrdeutigen_ Functionen des Ortes geliefert werden. Sei _W_
eine solche Function. Dann ist _W_ jedenfalls eine analytische Function
von _z_; man kann also von einem _Differentialquotienten_ [formula]
sprechen und diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf
unserer Flche deuten. Derselbe ist nothwendig als Function des Ortes
eindeutig. Denn die Vieldeutigkeit von _W_ bezieht sich ja nur auf
constante Periodicittsmoduln, welche, in beliebiger Vielfachheit
genommen, dem Anfangswerthe additiv hinzutreten knnen. Daher ist
[formula] nach dem eben Bewiesenen eine rationale Function von _w_ und
_z_, _und es stellt sich also __W__ als Integral einer solchen Function
dar:_

[formula]

Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des
Ortes in unserer Flche abgibt, welche zu der von uns betrachteten
Functionsclasse gehrt, ist auf Grund bekannter Entwickelungen
selbstverstndlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das
Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthnderungen,
welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein
nheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnthig.--

Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgrnzten Resultate gefhrt worden.
_Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die
Abhngigkeit zwischen __z__ und dem in hohem Maasse willkrlichen w
definirt, so sind die brigen Functionen des Ortes der Art nach
wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen
Functionen von __w__ und __z__, und mit den Integralen solcher
Functionen._

Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt betrachteten
Ringflche [formula] zu erlutern. Als Functionen _z_ und _w_ werden wir
dieselben zu Grunde legen, die im vorigen Paragraphen besprochen wurden,
und von denen die erstere durch die Figuren (42), (43) erlutert wird. Die
zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir wissen:

[formula]

und es verwandeln sich also die Integrale [formula] in diejenigen, die man
als _elliptische Integrale_ zu bezeichnen pflegt. Unter ihnen gibt es,
nach . 12, ein einziges "berall endliches" Integral. Aus der in Figur
(38) gegebenen Abbildung folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort
betrachtete [formula], das gewhnlich sogenannte _Integral erster
Gattung_. Die zugehrigen Niveaucurven und Strmungscurven sind dieselben,
welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen
Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32)
entsprechen, sind in der gewhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das
einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das
andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte.
Als Functionen von _z_ betrachtet geben dieselben solche elliptische
Integrale ab, welche man als _Integrale dritter Gattung_ bez. _zweiter
Gattung_ zu bezeichnen pflegt.




. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.


Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir
uns mit der allgemeinen Fragestellung des . 7 gesteckt haben,
thatschlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Flche die allgemeinsten
fr uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und
nun die analytischen Abhngigkeiten derselben von einander definirt, indem
wir zusahen, wie alle von einer, brigens beliebig gewhlten, eindeutigen
Function des Ortes im Sinne der gewhnlichen Analysis abhngig sind. Es
bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein
Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag.
Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die
Grundlage der Riemann'schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer
Ausfhrungen auf Riemann's Originalarbeit sowie die sonstigen
Darstellungen der Theorie verwiesen werden.

Constatiren wir zunchst, _dass es in der That die Gesammtheit der
algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere
Untersuchung umspannt wird_. Denn wenn eine beliebige algebraische
Gleichung [formula] gegeben ist, so knnen wir in der gewhnlichen Weise
ber der _z_-Ebene eine zugehrige mehrblttrige Riemann'sche Flche
construiren und nun auf dieser einfrmige Strmungen und complexe
Functionen des Ortes studieren (vergl. . 15).

Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durch unsere Betrachtungen in
der That gefrdert sei. Erinnern wir uns zu dem Zwecke, dass es vor allen
Dingen die _Vieldeutigkeit_ der Integrale war, welche so lange einen
Fortschritt in ihrer Theorie verhindert hat. Dass Integrale durch das
Auftreten logarithmischer Unstetigkeitspuncte vieldeutig werden, hatte
schon _Cauchy_ erkannt. Aber erst durch die Riemann'sche Flche ist die
andere Art von Periodicitt, welche in dem _Zusammenhange_ der Flche
ihren Grund hat und an den Querschnitten der Flche gemessen wird, uns
vllig deutlich geworden.--Ein anderer Punct ist dieser. Man hat sich von
je bei der Untersuchung der Integrale der Umformung durch Substitution
bedient, ohne sich indess ber eine bloss empirische Verwerthung derselben
betrchtlich zu erheben. Bei Riemann's Theorie ist eine umfangreiche
Classe von Substitutionen von selbst gegeben und in ihrer Wirkung zu
beurtheilen. Die Variabelen _w_ und _z_ sind fr uns nur irgend zwei, von
einander unabhngige, eindeutige Functionen des Ortes; wir knnen statt
ihrer ebensogut zwei andere, [formula] und [formula], zu Grunde legen,
wobei sich [formula] und [formula] als brigens beliebige rationale
Functionen von _w_ und _z_ und ebensowohl letztere als rationale
Functionen von [formula] und [formula] erweisen. Die Riemann'sche Flche,
auf der wir operiren, wird von dieser Umnderung durchaus nicht nothwendig
betroffen. Unter der Menge der _zuflligen_ Eigenschaften unserer
Functionen erkennen wir also _wesentliche_, welche bei eindeutiger
Umformung ungendert bleiben. Und vor Allem tritt uns in der Zahl _p_ von
vorneherein ein solches invariantes Element entgegen.--Indem die
Riemann'sche Theorie die beiden hiermit bezeichneten Schwierigkeiten,
welche frhere Bearbeiter gehemmt hatten, bei Seite rumt, gelangt sie
unmittelbar zu dem Satze, den wir in . 10 aufstellten, und der die
Willkrlichkeit der in Betracht zu ziehenden Functionen bestimmt. Ich
meine den Satz, _dass man (unter den wiederholt angegebenen
Beschrnkungen) die Unendlichkeitspuncte der Function und die
Periodicittsmoduln ihres reellen Theiles an den Querschnitten als
willkrliche und hinreichende Bestimmungsstcke derselben erachten
darf._--

So etwa stellt sich die Bilanz, wenn man die functionentheoretischen
Interessen, wie es unter Mathematikern zu geschehen pflegt, voranstellt.
Aber vergessen wir nicht, dass die umgekehrte Auffassung im Grunde ebenso
berechtigt ist. Das Studium einfrmiger Strmungen auf gegebenen Flchen
kann umsomehr als Selbstzweck betrachtet werden, als es bei zahlreichen
_physikalischen_ Problemen unmittelbar zu Verwerthung gelangt. In der
unendlichen Mannigfaltigkeit dieser Strmungen orientirt uns die
Riemann'sche Theorie, indem sie auf den Zusammenhang hinweist, der
zwischen diesen Strmungen und den algebraischen Functionen der Analysis
statt hat.

Wir knnen endlich den _geometrischen_ Gesichtspunct hervorkehren, und die
Riemann'sche Theorie als ein Mittel betrachten, um die Lehre von der
conformen Abbildung geschlossener Flchen auf einander der analytischen
Behandlung zugnglich zu machen. Eben diese Auffassung ist es, der ich im
folgenden, dritten Abschnitte meiner Darstellung Ausdruck zu geben bemht
bin. Es wird nicht nthig sein, schon an dieser Stelle ausfhrlicher
hierauf einzugehen.




. 18. Weiterbildung der Theorie.


In Riemann's eigenem Gedankengange, wie ich ihn vorstehend zu schildern
versuchte, veranschaulicht die Riemann'sche Flche nicht nur die in
Betracht kommenden Functionen, sondern sie _definirt_ dieselben. Es
scheint mglich, diese beiden Dinge zu trennen: die Definition der
Functionen von anderer Seite zu nehmen und die Flche nur als Mittel der
Veranschaulichung beizubehalten. Das ist es in der That, was von der
Mehrzahl der Mathematiker um so lieber geschehen ist, als Riemann's
Definition der Function bei genauerer Untersuchung betrchtliche
Schwierigkeiten mit sich bringt(31). Man beginnt also etwa mit der
algebraischen Gleichung und der Begriffsbestimmung des Integrals, und
construirt erst hinterher eine zugehrige Riemann'sche Flche.

Dann aber ist von selbst eine grosse Verallgemeinerung der ursprnglichen
Auffassung gegeben. Bislang galten uns zwei Flchen nur dann als
gleichwerthig, wenn die eine aus der anderen durch eindeutige conforme
Abbildung entstand. Jetzt ist kein Grund mehr, an der Conformitt der
Abbildung festzuhalten. _Jede Flche, welche durch stetige Abbildung
eindeutig__ in die gegebene verwandelt werden kann, berhaupt jedes
geometrische Gebilde, dessen Elemente sich stetig eindeutig auf die
ursprngliche Flche beziehen lassen, kann ebensowohl zur Versinnlichung
der in Betracht zu ziehenden Functionen gebraucht werden._ Ich habe diesem
Gedanken, wie ich bei gegenwrtiger Gelegenheit ausfhren mchte, in
frheren Arbeiten nach zwei Richtungen hin Ausdruck gegeben.

Einmal operirte ich mit dem Begriffe einer mglichst bersichtlichen,
brigens verschiedentlich modificirbaren _Normalflche_ (vergl. . 8), auf
welcher ich den Verlauf der in Betracht kommenden Functionen durch
verschiedene graphische Hlfsmittel zu illustriren bemht war(32). Hierher
gehren auch die _Polygonnetze_, deren ich mich wiederholt bediente(33),
indem ich mir die Riemann'sche Flche in geeigneter Weise zerschnitten und
dann in die Ebene ausgebreitet dachte. Es bleibe dabei an dieser Stelle
unerrtert, ob nicht den so entstehenden Figuren, die zunchst beliebig
stetig verndert werden drfen, im Interesse weitergehender
functionentheoretischer Untersuchungen hinterher doch eine gesetzmssige
Gestalt ertheilt werden soll, vermge deren sich eine _Definition_ der
durch die Figur zu veranschaulichenden Functionen ermglicht.

Das andere Mal(34) stellte ich mir die Aufgabe, in mglichst anschaulicher
Weise den Zusammenhang darzulegen zwischen der Auffassungsweise der
Functionentheorie und derjenigen der gewhnlichen analytischen Geometrie,
welch' letztere eine Gleichung zwischen zwei Variabelen als _Curve_
deutet. Indem ich von dem Satze ausging, dass jede imaginre Gerade der
Ebene und also auch jede imaginre Tangente einer Curve einen und nur
einen reellen Punct besitzt, erhielt ich eine Riemann'sche Flche, die
sich an den Verlauf der gegebenen Curve auf das Innigste anschmiegt. Ich
habe diese Flche, wie es mein ursprnglicher Zweck war, bisher nur zur
Veranschaulichung gewisser einfacher Integrale gebraucht(35). Aber es
findet eine hnliche Bemerkung ihre Stelle, wie oben bei den
Polygonnetzen. Insofern die Flche gesetzmssig ist, muss auch sie zur
_Definition_ der auf ihr existirenden Functionen dienen knnen. In der
That kann man fr diese Functionen eine partielle Differentialgleichung
bilden, welche den Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die wir in .
1 und 5 betrachten, in etwa analog ist: nur dass der Differentialausdruck,
an den diese Gleichung anknpft, nicht unmittelbar als _Bogenelement_
einer Flche zu deuten ist.--

Diese wenigen Bemerkungen mssen gengen, um auf Betrachtungen
hinzuweisen, deren Verfolg mir interessant scheint.





ABSCHNITT III. - FOLGERUNGEN.




. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.


Es gibt einen wichtigen Punct, in welchem die Riemann'sche Theorie der
algebraischen Functionen nicht nur der Methode sondern auch dem Resultate
nach ber die sonst blichen Darstellungen dieser Theorie hinausgreift.
Sie besagt nmlich _dass zu jeder ber der __z__-Ebene ausgebreiteten,
graphisch gegebenen mehrblttrigen Flche zugehrige algebraische
Functionen construirt werden knnen_,--wobei man beachten mag, dass diese
Functionen, sofern sie berhaupt existiren, in hohem Maasse willkrlich
sind, da [formula] im Allgemeinen gerade so verzweigt ist, wie _w_.--Der
genannte Satz ist um so merkwrdiger, als er eine Angabe ber eine
interessante Gleichung hheren Grades implicirt. Sind nmlich die
Verzweigungspuncte einer _m_-blttrigen Flche gegeben, so existiren noch
eine endliche Zahl von wesentlich verschiedenen Mglichkeiten, dieselben
in die _m_-Bltter einzuordnen: man wird diese Zahl durch Betrachtungen
auffinden knnen, die der reinen Analysis situs angehren(36). Aber
dieselbe Zahl hat unserem Satze zufolge ihre algebraische Bedeutung. Man
bezeichne, wie es Riemann thut, alle solche algebraischen Functionen von
_z_ als derselben Classe angehrig, die sich, unter Benutzung von _z_,
rational durch einander ausdrcken lassen. _Dann ist unsere_(_37_)_ Zahl
die Anzahl der verschiedenen__ Classen algebraischer Functionen, welche in
Bezug auf __z__ die gegebenen Verzweigungswerthe besitzen._

Ich wnsche im gegenwrtigen und im folgenden Paragraphen verschiedene
Folgerungen zu ziehen, die sich aus dem vorausgeschickten Satze gewinnen
lassen, und zwar mag zunchst die Frage nach den _Moduln_ der
algebraischen Functionen behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen
Constanten, welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen
[formula] die Rolle der Invarianten spielen.

Sei zu diesem Zwecke [formula] eine zunchst unbekannte Zahl, welche
angibt, wie vielfach unendlich oft eine Flche sich eindeutig in sich
transformiren, d. h. conform auf sich selber abbilden lsst. Sodann
erinnere man sich an die Anzahl der Constanten in den eindeutigen
Functionen auf gegebener Flche (. 13). Es gab im Allgemeinen [formula]
eindeutige Functionen mit _m_ Unendlichkeitspuncten, und diese Zahl war
jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben wurde), wenn [formula]
war. Nun bildet jede dieser Functionen die gegebene Flche auf eine
_m_-blttrige Flche ber der Ebene eindeutig ab. _Daher ist die
Gesammtheit der __m__-blttrigen Flchen, auf welche man eine gegebene
Flche conform eindeutig beziehen kann, und also auch der __m__-blttrigen
Flchen, die man einer Gleichung _[formula]_ durch eindeutige
Transformation zuordnen kann, _[formula]_ fach._ Denn jedesmal [formula]
Abbildungen ergeben dieselbe _m_-blttrige Flche, weil jede Flche der
Voraussetzung nach [formula] mal auf sich selber abgebildet werden kann.

Nun gibt es aber berhaupt [formula] _m_-blttrige Flchen, unter _w_ die
Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. [formula] verstanden. Denn durch die
Verzweigungspuncte wird die Flche, wie oben bemerkt, endlich-deutig
bestimmt, und Verzweigungspunkte hherer Multiplicitt entstehen durch
Zusammenrcken einfacher Verzweigungspuncte, wie dieses betreffs der
entsprechenden Kreuzungspuncte bereits in . 1 erlutert wurde (vergl.
Figur (2) und (3) daselbst). Zu jeder dieser Flchen gehren, wie wir
wissen, algebraische Functionen. _Die Anzahl der Moduln ist daher
_[formula]_._

Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der _m_-blttrigen Flchen mit
_w_ Verzweigungspuncten ein _Continuum_ bildet(38), wie das Entsprechende
betreffs der auf gegebener Flche existirenden eindeutigen Functionen mit
_m_ Unendlichkeitspuncten bereits in . 13 hervorgehoben wurde. Wir
schliessen dann, _dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen __p__
ebenfalls eine einzige zusammenhngende Mannigfaltigkeit constituiren_
(wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige
Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst
gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre prcise Bedeutung: _sie ist
die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhngenden Mannigfaltigkeit_.

Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [formula] zu bestimmen. Diess
geschieht durch folgende Stze:

1. _Jede Gleichung _[formula]_ kann _[formula]_ mal eindeutig in sich,
selbst transformirt werden_. Denn auf der zugehrigen Riemann'schen Flche
existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in
dreifach unendlicher Zahl (. 13), von denen man, um eine eindeutige
Transformation der Flche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend
zu setzen hat.--Des Nheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der
genannten Functionen _z_, so sind alle anderen (nach . 16) algebraische
eindeutige, d. h. rationale Functionen von _z_, und, da das Verhltniss
umkehrbar sein muss, _lineare_ Functionen von _z_. Umgekehrt ist auch jede
lineare Function von _z_ eine eindeutige Function des Ortes in unserer
Flche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die
allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen,
wenn man jedem Puncte _z_ der Riemann'schen Flche einen anderen durch die
Formel zuordnet:

[formula]

unter [formula] beliebige Constante verstanden.

2) _Jede Gleichung _[formula]_ kann einfach unendlich oft eindeutig in
sich transformirt werden_. Zum Beweise betrachte man das zugehrige
berall endliche Integral _W_ und insbesondere die Abbildung, welche von
der zweckmssig zerschnittenen Riemann'schen Flche in der Ebene _W_
entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan
(. 15, Figur (38)); eine genaue Ausfhrung im allgemeinen Falle wird um
so weniger nthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der
Theorie der elliptischen Functionen ausfhrlich entwickelt zu werden
pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von _W_ _ein_ Punct und
nur ein Punct der betreffenden Riemann'schen Flche gehrt, whrend sich
die unendlich vielen Werthe von _W_, die demselben Punkte der
Riemann'schen Flche entsprechen, aus einem derselben in der Form
zusammensetzen: [formula], unter [formula], [formula] beliebige ganze
Zahlen, unter [formula], [formula] die beiden Perioden des Integrals
verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte _W_ ein Punct
[formula] in der Weise zugeordnet werden mssen, dass jeder Vermehrung von
_W_ um Perioden eine solche von [formula] entspricht, und umgekehrt. Diess
gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man

[formula]

setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhltniss [formula]
bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [formula] auch gleich
[formula], oder [formula] gesetzt werden (unter [formula] eine dritte
Einheitswurzel verstanden)(39). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle
in den Transformationsformeln nur eine willkrliche Constante und also den
wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich
viele Transformationen, wie behauptet wurde.

3) _Gleichungen _[formula]_ knnen niemals unendlich oft eindeutig in sich
transformirt werden._(_40_)

Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf
die Darstellungen von _Schwarz_ (Borchardt's Journal Bd. 87) und _Hettner_
(Gttinger Nachrichten, 1880, p. 386). Auf anschauungsmssigem Wege kann
man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen verstndlich
machen. Sollte es unendlich viele eindeutige Transformationen der
Gleichung in sich geben, so msste es mglich sein, die zugehrige
Riemann'sche Flche derart continuirlich ber sich hin zu _verschieben_,
dass jede kleinste Figur mit sich selbst hnlich bleibt. Die Curven, lngs
deren eine solche Verschiebung vor sich ginge, mssten die Flche
jedenfalls vollstndig und zugleich einfach berdecken. Ein
_Kreuzungspunct_ drfte in diesem Curvensysteme offenbar nicht vorhanden
sein. Man msste einen solchen Punct nmlich, damit keine Vieldeutigkeit
der Transformation eintritt, als festbleibenden Punct betrachten und also
die Geschwindigkeit der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber
wrde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf den
Kreuzungspunct zu rckt, im Sinne der Bewegung nothwendig
zusammengedrckt, senkrecht dazu auseinandergezogen werden; sie knnte
also nicht mit sich selbst hnlich bleiben, wie es doch durch den Begriff
der conformen Abbildung verlangt wird.--Andererseits mssen aber in jedem
Curvensysteme, das eine Flche [formula] vollstndig und einfach
berdeckt, nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein. Diess ist derselbe
Satz, den wir, in etwas weniger allgemeiner Form, in . 11 aufgestellt
haben.--Die ganze Verschiebung der Flche in sich ist also unmglich, was
zu beweisen war.

Nach diesen Stzen ist [formula] fr [formula], gleich 1 fr [formula],
und gleich Null fr alle grsseren _p_. _Die Zahl der Moduln ist also fr
_[formula]_ gleich Null, fr _[formula]_ gleich Eins, fr grssere __p__
gleich _[formula].

Es wird gut sein, noch folgende Bemerkungen hinzuzufgen. Um den Punct
eines Raumes von [formula] Dimensionen zu bestimmen, wird man im
Allgemeinen mit [formula] Grssen nicht ausreichen: man wird mehr Grssen
benthigen, zwischen denen dann algebraische (oder auch transcendente)
Relationen bestehen. Ausserdem mag es aber auch sein, dass man
zweckmssigerweise Bestimmungsstcke einfhrt, von denen jedesmal
verschiedene Serien denselben Punct der Mannigfaltigkeit bezeichnen.
Welche Verhltnisse bei den [formula] Moduln, die bei [formula] existiren
mssen, in dieser Hinsicht vorliegen, ist nur erst wenig erforscht.
Dagegen ist der Fall [formula] aus der Theorie der elliptischen Functionen
genau bekannt. Ich erwhne die auf ihn bezglichen Resultate, um mich im
Folgenden bei aller Krze doch prcise ausdrcken zu knnen. Sei vor allen
Dingen hervorgehoben, dass fr [formula] das algebraische Individuum (um
diesen oben gebrauchten Ausdruck noch einmal zu verwenden) in der That
durch eine (und nur eine) Grsse charakterisirt werden kann: _die absolute
Invariante_ [formula](41). Wenn im Folgenden gesagt wird, dass zur
Ueberfhrbarkeit zweier Gleichungen [formula] in einander die Gleichheit
des Moduls nicht nur hinreichend, sondern auch erforderlich sei, so ist
stets an die Invariante _J_ gedacht. Statt ihrer verwendet man, wie
bekannt, gewhnlich das _Legendre_'sche [formula], welches bei gegebenem
_J_ sechswerthig ist, so dass bei der Formulirung allgemeiner Stze eine
gewisse Schwerflligkeit unvermeidbar scheint. In noch hherem Maasse ist
dies der Fall, wenn man das Periodenverhltniss [formula] des elliptischen
Integrals erster Gattung, wie dies in anderer Beziehung vielfach
zweckmssig ist, als Modul einfhrt. Jedesmal unendlich viele Werthe des
Moduls bezeichnen dann dasselbe algebraische Individuum.




. 20. Conforme Abbildung geschlossener Flchen auf sich selbst.


In den nun noch folgenden Paragraphen mgen die entwickelten Principien,
wie in Aussicht gestellt, nach der geometrischen Seite verfolgt werden, um
wenigstens die Grundzge fr eine Theorie _der conformen Abbildung_ von
Flchen auf einander zu gewinnen(42) und so den Andeutungen zu
entsprechen, mit denen Riemann, wie bereits in der Vorrede bemerkt, seine
Dissertation abschloss. Ich werde mich dabei, was die Flle [formula] und
[formula] angeht, um nicht zu weitlufig zu werden, vielfach auf eine
blosse Angabe der Resultate oder eine Andeutung ihres Beweises beschrnken
mssen.

Indem wir uns zuvrderst nach conformen Abbildungen einer geschlossenen
Flche auf sich selbst fragen, haben wir eine Unterscheidung einzufhren,
von der bislang noch nicht die Rede war: _die Abbildung kann ohne Umlegung
der Winkel geschehen oder mit Umlegung derselben_. Wir haben eine
Abbildung der einen Art, wenn wir eine Kugel durch Drehung um den
Mittelpunct mit sich selbst zur Deckung bringen; wir bekommen die zweite
Art, wenn wir zu demselben Zwecke eine Spiegelung an einer Diametralebene
verwenden. Die analytische Behandlung, wie wir sie bisher benutzten,
entspricht nur den Abbildungen der ersten Art. Sind [formula] und
[formula] zwei complexe Functionen des Ortes auf derselben Flche, so
liefert [formula], [formula] die allgemeinste Abbildung erster Art (vergl.
. 6). Aber es ist leicht zu sehen, wie man die Erweiterung zu treffen
hat, um auch Abbildungen zweiter Art zu umfassen. _Man hat einfach
_[formula]_, _[formula]_ zu setzen, um eine Abbildung zweiter Art zu
haben_.

Entnehmen wir zunchst den Entwickelungen des vorigen Paragraphen, was
sich auf Abbildung der ersten Art bezieht. Indem wir uns mglichst
geometrischer Ausdrucksweise bedienen, formuliren wir die folgenden
Theoreme:

_Flchen _[formula]_ oder _[formula]_ knnen immer, Flchen _[formula]_
niemals unendlich oft durch Abbildung der ersten Art in sich bergefhrt
werden._

_Bei den Flchen _[formula]_ ist die einzelne Abbildung der ersten Art
bestimmt, wenn man drei beliebige Puncte der Flche drei beliebigen
Puncten derselben zugeordnet hat._

_Ist _[formula]_, so darf man einen beliebigen Punct der Flche einem
zweiten nach Willkr zuweisen, und hat dann noch zur Bestimmung der
Abbildung erster Art im Allgemeinen eine zweifache, im besonderen Falle
eine vierfache oder sechsfache Mglichkeit._

Mit diesen Stzen ist natrlich nicht ausgeschlossen, dass besondere
Flchen [formula] durch _getrennte_ Transformationen der ersten Art in
sich bergehen mgen. Tritt diess ein, so bildet es eine bei beliebiger
conformen Umnderung der Flche invariante Eigenschaft, nach deren
Vorhandensein und Modalitt besonders interessante Flchenclassen aus der
Gesammtheit der brigen herausgehoben werden knnen.(43) Doch verfolgen
wir hier diesen Gesichtspunct nicht weiter.

Betreffs der Transformationen zweiter Art mgen wir voranstellen, _dass
jede Transformation der zweiten Art in Verbindung mit einer solchen der
ersten Art eine neue Transformation der zweiten Art ergibt_. Nun kennen
wir bei den Flchen [formula] und [formula] die Transformationen erster
Art auf Grund der angegebenen Stze vollstndig. Es wird bei ihnen also
gengen, zu untersuchen, ob berhaupt _eine_ Transformation der zweiten
Art existirt. _Bei den Flchen _[formula]_ ist diess sofort zu bejahen_.
Denn es gengt, eine beliebige der eindeutigen Functionen des Ortes mit
nur einem Unendlichkeitspuncte, [formula], herauszugreifen, und dann
[formula], [formula] zu setzen. Bei den Flchen [formula] ist die Sache
anders. _Man findet, dass im Allgemeinen keine Transformation der zweiten
Art existirt_. Zum Beweise ist es am einfachsten, die Werthe in Betracht
zu ziehen, welche das berall endliche Integral _W_ auf der Flche
[formula] annimmt. Man denke sich in der Ebene _W_ die Puncte [formula]
markirt, unter [formula] wie oben beliebige positive oder negative ganze
Zahlen verstanden. Man zeigt dann leicht, dass eine Transformation der
zweiten Art der Flche [formula] in sich nur dann mglich ist, wenn dieses
Punctsystem eine Symmetrieaxe besitzt. Es ist diess gerade _der_ Fall, in
welchem die oben definirte absolute Invariante _J_ einen _reellen_ Werth
aufweist. Je nachdem dabei [formula] oder [formula], knnen jene Puncte in
der _W_-Ebene als die Ecken eines _rhombischen_ oder eines _rechteckigen_
Systems betrachtet werden.

Sei nun [formula]. Wenn fr eine solche Flche eine Transformation der
zweiten Art existirt, so wird dieselbe im Allgemeinen von keiner weiteren
Transformation derselben Art begleitet sein(44). Denn sonst wrde die
Wiederholung oder Combination dieser Transformationen eine von der
Identitt verschiedene Transformation der ersten Art liefern. Die
Transformation muss daher nothwendig eine _symmetrische_ sein, d. h. eine
solche, welche die Puncte der Flche _paarweise_ zusammenordnet. Ich will
dementsprechend die Flche selbst eine _symmetrische_ nennen.

Uebrigens mgen hinterher unter diesem Namen berhaupt alle Flchen mit
einbegriffen sein, welche Transformationen zweiter Art in sich zulassen,
die zweimal angewandt zur Identitt zurckfhren. Es gehren dahin, wie
man sofort sieht, die Flchen [formula], sowie auch smmtliche Flchen
[formula] mit reeller Invariante.




. 21. Besondere Betrachtung der symmetrischen Flchen.


Fr die symmetrischen Flchen, auf die wir hier unser besonderes Augenmerk
richten wollen, ergibt sich sofort eine Eintheilung nach der Zahl und Art
der auf ihr befindlichen _Uebergangscurven_, d. h. derjenigen Curven,
deren Puncte bei der in Betracht kommenden symmetrischen Umformung
ungendert bleiben.

_Die Zahl dieser Curven kann jedenfalls nicht grsser sein, als
_[formula]. Denn wenn man eine Flche lngs aller ihrer Uebergangscurven
mit Ausnahme einer einzigen zerschneidet, so bildet sie, indem ihre
symmetrischen Hlften noch immer in der einen Uebergangscurve
zusammenhngen, nach wie vor ein ungetrenntes Ganze. Es wrden sich also,
wenn mehr als [formula] Uebergangscurven vorhanden wren, auf der Flche
mehr als _p_ nicht zerstckende Rckkehrschnitte ausfhren lassen, was ein
Widerspruch gegen die Definition der Zahl _p_ ist.

_Dagegen ist unterhalb dieser Grnze jede Zahl von Uebergangscurven
mglich_. Es mag hier gengen, in diesem Sinne die Flle [formula] und
[formula] zu discutiren; fr die hheren _p_ ergeben sich dann von selbst
naheliegen de Beispiele.

1) Wenn wir eine Kugel durch Spiegelung an einer Diametralebene mit sich
zur Deckung bringen, so bildet der grsste Kreis, in welchem sie von der
Diametralebene geschnitten wird, eine Uebergangscurve. Wir erhalten eine
Zuordnung der anderen Art indem wir je zwei solche Puncte der Kugel
entsprechend setzen, welche die Endpuncte eines Durchmessers bilden. Beide
Beispiele sind leicht zu generalisiren. Die analytische Darstellung ist
diese. Wenn eine Uebergangscurve existirt, so gibt es eindeutige
Functionen des Ortes mit nur einem Unendlichkeitspuncte, die auf der
Uebergangscurve reelle Werthe annehmen. Heisst eine derselben [formula],
so ist die Umformung, wie oben schon als Beispiel angegeben, durch
[formula], [formula] gegeben.--Im zweiten Falle kann man eine Function
[formula] so whlen, dass ihre Werthe [formula] und _0_, sowie [formula]
und [formula] zusammengeordnete Puncte vorstellen. Dann ist

[formula]

die analytische Formel der betreffenden Umnderung.

2) Im Falle [formula] mssen wir die Invariante _J_, wie wir wissen,
jedenfalls reell nehmen. Sei dieselbe zunchst [formula]. Dann knnen wir
das zugehrige berall endliche Integral _W_ (durch Zufgung eines
geigneten constanten Factors) so normiren, dass die eine Periode _reell_,
gleich _a_, die andere _rein imaginr_, gleich [formula], wird. Setzen wir
dann (fr [formula]):

[formula]

so haben wir eine symmetrische Umformung der Flche [formula] mit den
_zwei_ Uebergangscurven:

[formula]

schreiben wir dagegen:

[formula]

was wieder eine symmetrische Umformung unserer Flche ist, so haben wir
den Fall, in welchem _keine_ Uebergangscurve entsteht.--Der Fall mit nur
_einer_ Uebergangscurve tritt ein, wenn wir [formula] nehmen. Wir knnen
dann _W_ so whlen, dass seine beiden Perioden conjugirt complex werden.
Wir schreiben dann wieder

[formula]

und haben eine symmetrische Umformung mit der einen Uebergangscurve
[formula].

Neben die hiermit erluterte erste Unterscheidung der symmetrischen
Flchen nach der _Zahl_ der Uebergangscurven stellt sich aber noch eine
zweite. Ich will die Flle von _0_ oder [formula] Uebergangscurven einen
Augenblick ausschliessen. Dann bietet sich von vorneherein eine doppelte
Mglichkeit. _Eine Zerschneidung der Flche lngs smmtlicher
Uebergangscurven mag nmlich entweder ein Zerfallen der Flche
herbeifhren, oder nicht._ Es sei [formula] die Zahl der Uebergangscurven.
Man zeigt dann leicht, dass [formula] ungerade sein muss, wenn ein
Zerfallen eintreten soll. Eine weitere Beschrnkung existirt nicht, wie
man an Beispielen beweist. Wir wollen dementsprechend symmetrische Flchen
_der einen und der andern Art_ unterscheiden und den ersteren (den
zerfallenden) Flchen die Flche mit [formula] Uebergangscurven, den
letzteren die Flche ohne Uebergangscurve zurechnen.

Diese Stze besitzen eine gewisse Analogie mit den Resultaten, welche in
der analytischen Geometrie die gestaltliche Untersuchung der Curven von
gegebenen _p_ erzielt hat.(45) Und in der That zeigt sich, dass diese
Analogie eine begrndete ist. Die analytische Geometrie beschftigt sich
bei jenen Untersuchungen (zunchst) nur mit solchen Gleichungen

[formula]

welche reelle Coefficienten besitzen. Beachten wir zunchst, dass jede
solche Gleichung ber der _z_-Ebene in der That eine symmetrische
Riemann'sche Flche bestimmt, insofern ja die Gleichung und also auch die
Flche ungendert bestehen bleibt, wenn man _w_ und _z_ gleichzeitig durch
ihre conjugirten Werthe ersetzt--und dass die Uebergangscurven auf dieser
Flche den _reellen_ Werthereihen von _w_ und _z_ entsprechen, welche
[formula] befriedigen, d. h. genau den verschiedenen Zgen, welche die
Curve [formula] im Sinne der analytischen Geometrie aufweist.

Aber auch der Rckschluss ist leicht zu machen. Sei eine symmetrische
Flche und auf ihr eine beliebige complexe Function des Ortes, [formula],
gegeben. Bei der symmetrischen Umformung erfhrt unsere Flche _eine
Umlegung der Winkel_. Wenn man also jedem Puncte der Flche solche Werthe
[formula], [formula] beilegt, wie sie, unter der Benennung _u_, _v_, sein
symmetrischer Punct aufweist, so wird [formula] eine neue complexe
Function des Ortes sein. Man bilde nun:

[formula]

so hat man einen Ausdruck, der im allgemeinen nicht identisch
verschwindet; es gengt zu dem Zwecke, die Unendlichkeitspuncte von
[formula] in unsymmetrischer Weise anzunehmen. _Man hat also eine complexe
Function des Ortes, welche in symmetrisch gelegenen Puncten gleiche reelle
aber entgegengesetzt gleiche imaginre Werthe aufweist._--Solcher
[formula] mgen nun irgend zwei: _W_ und _Z_, die berdiess _eindeutige_
Functionen des Ortes sein sollen, herausgegriffen werden. Die zwischen
diesen bestehende algebraische Gleichung hat dann die Eigenschaft,
ungendert zu bleiben, wenn man _W_ und _Z_ gleichzeitig durch ihre
conjugirten Werthe ersetzt. _Sie ist also eine Gleichung mit reellen
Coefficienten,_ womit der geforderte Beweis in der That erbracht ist.

Ich knpfe an diese Ueberlegungen noch Bemerkungen her die _reellen_
eindeutigen Transformationen _reeller_ Gleichungen [formula] in sich,
oder, was dasselbe ist, ber solche conforme Abbildungen erster Art
symmetrischer Flchen auf sich selbst, bei denen symmetrische Puncte
wieder in symmetrische Puncte bergehen. In unendlicher Zahl knnen solche
Transformationen nach dem allgemeinen Satze des . 19 nur fr [formula]
und [formula] auftreten; wir beschrnken uns also auf diese Flle. Nehmen
wir zuvrderst [formula]. Dann sehen wir sofort, dass unter den frher
aufgestellten Transformationen nur noch diejenigen

[formula]

in Betracht kommen, _bei denen_ _C_ _eine reelle Constante bedeutet._
Analog in dem ersten Falle [formula]. Die Beziehung [formula] bleibt
ungendert, wenn man [formula] und [formula] gleichzeitig derselben
linearen Transformation:

[formula]

unterwirft, _wo die Verhltnissgrssen _[formula]_ reell sind_. In dem
zweiten Falle [formula] ist die Sache etwas complicirter. _Auch bei ihm
sind lineare Transformationen mit drei reellen Parametern mglich._
Dieselben nehmen aber fr das oben eingefhrte _z_ die folgende Gestalt
an:

[formula]

wo [formula] die drei reellen Parameter vorstellen. Dieses Resultat ist
implicite in den Untersuchungen enthalten, die sich auf die analytische
Reprsentation der Drehungen der [formula]-Kugel um ihren Mittelpunct
beziehen.(46)




 22. Conforme Abbildung verschiedener Flchen auf einander.


Wenn es sich jetzt darum handelt, verschiedene geschlossene Flchen auf
einander abzubilden, so liefern die vorausgeschickten Untersuchungen ber
die conforme Abbildung geschlossener Flchen auf sich selbst die nthigen
Nebenbestimmungen, welche angeben, wie oft sich eine solche Abbildung
gestaltet, sofern eine solche berhaupt mglich ist. Flchen, welche sich
conform aufeinander abbilden lassen, besitzen jedenfalls (wie schon
hervorgehoben) bereinstimmende Transformationen in sich selbst. Man
erhlt also alle Abbildungen der einen Flche auf die zweite, wenn man
eine beliebige Abbildung mit allen solchen verbindet, welche _eine_ der
beiden Flchen in sich selbst berfhren. Ich werde hierauf nicht weiter
zurckkommen.

Betrachten wir nun zuvrderst allgemeine, d. h. nicht symmetrische
Flchen. Dann treten die Abzhlungen des . 19 betreffs der Moduln
algebraischer Gleichungen unmittelbar in Geltung. Wir haben zunchst:

_Flchen _[formula]_ lassen sich immer conform auf einander abbilden;_ und
finden brigens, dass die Flchen [formula] _einen_, die Flchen [formula]
[formula] bei conformer Abbildung unzerstrbare Moduln besitzen. Jeder
solche Modul ist im Allgemeinen eine _complexe_ Constante. Dem Umstande
entsprechend, dass bei symmetrischen Flchen reelle Parameter in Betracht
gezogen werden mssen, wollen wir ihn in seinen reellen und seinen
imaginren Bestandtheil zerlegt denken. Dann haben wir:

_Sollen zwei Flchen _[formula]_ auf einander abbildbar sein, so sind im
Falle _[formula]_ zwei, im Falle _[formula]_ _[formula]_ Gleichungen
zwischen den reellen Constanten der Flchen zu erfllen._

Indem wir uns jetzt zu den _symmetrischen_ Flchen wenden, haben wir noch
eine kleine Zwischenbetrachtung zu machen. Zunchst ist ersichtlich, dass
zwei solche Flchen nur dann "symmetrisch'' auf einander bezogen werden
knnen, wenn sie neben dem gleichen _p_ dieselbe Zahl [formula] der
Uebergangscurven darbieten und berdiess beide entweder der ersten oder
der zweiten Art angehren. Im Uebrigen wiederhole man speciell fr die
symmetrischen Flchen die Abzhlungen des . 13 betreffs der Zahl der in
eindeutigen Functionen enthaltenen Constanten unter der Bedingung, dass
nur solche Functionen in Betracht gezogen werden, welche an symmetrischen
Stellen conjugirt imaginre Werthe aufweisen. Hiermit combinire man sodann
nach dem Muster des . 19 die Zahl solcher ber der _Z_-Ebene
construirbarer mehrblttriger Flchen, welche in Bezug auf die Axe der
reellen Zahlen symmetrisch sind. Ich will dabei, um das Auftreten
unendlich vieler Transformationen in sich zu vermeiden, zuvrderst
annehmen, dass [formula] sei. Die Sache ist dann so einfach, dass ich sie
nicht speciell durchzufhren brauche. Der Unterschied ist nur, dass die in
Betracht kommenden, frher unbeschrnkten Constanten nunmehr gezwungen
sind, entweder _einzeln reell_ oder _paarweise conjugirt complex_ zu sein.
In Folge dessen reduciren sich alle Willkrlichkeiten auf die Hlfte. Wir
mgen folgendermassen sagen:

_Zur Abbildbarkeit zweier symmetrischer Flchen _[formula]_ auf einander
ist neben der Uebereinstimmung in den Attributen das Bestehen von
_[formula]_ Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flche
erforderlich._

Die Flle [formula] und [formula], welche hierbei ausgeschlossen wurden,
sind implicite bereits im vorigen Paragraphen erledigt. Selbstverstndlich
mssen zwei symmetrische Flchen [formula], die sich auf einander sollen
abbilden lassen, die gleiche Invariante _J_ besitzen, was _eine_ Bedingung
fr die Constanten der Flchen abgibt, insofern _J_ jedenfalls reell ist.
Im Uebrigen aber findet man sofort, dass die Abbildung sich allemal
ermglicht, sobald die symmetrischen Flchen, wie dies selbstverstndlich
verlangt werden muss, _in der Zahl der Uebergangscurven_ bereinstimmen.




. 23. Berandete Flchen und Doppelflchen.


Auf Grund der nunmehr gewonnenen Resultate knnen wir den bisherigen
Untersuchungen ber die Abbildung _geschlossener_ Flchen eine scheinbar
bedeutende Verallgemeinerung zu Theil werden lassen, und habe ich eben
desshalb die symmetrischen Flchen so ausfhrlich betrachtet. Wir knnen
jetzt nmlich _berandete_ Flchen und _Doppelflchen_ in Betracht ziehen
(mgen nun letztere berandet sein, oder nicht) und mit einem Schlage die
auf sie bezglichen Fragen erledigen. Hierzu gehrt, was die Einfhrung
der Randcurven angeht, dass wir uns von einer gewissen Beschrnkung
befreien, welche wir bisher, allerdings nur implicite, vorausgesetzt
haben. Wir dachten uns die Flchen, auf denen wir operirten, bislang
durchweg als stetig gekrmmt, oder doch nur in einzelnen Puncten (den
Verzweigungspuncten) mit Unstetigkeiten behaftet. Aber nichts hindert uns,
jetzt hinterher auch andere Unstetigkeiten zuzulassen. Wir werden uns z.
B. vorstellen drfen, dass unsere Flche aus einer endlichen Anzahl
verschiedener (im Allgemeinen selbst gekrmmter) Stcke, welche unter
endlichen Winkeln zusammenstossen, polyederartig zusammengesetzt sei.
Knnen wir uns doch auf einer solchen Flche ebensogut elektrische Strme
verlaufend denken, wie auf einer stetig gekrmmten! Unter diese Flchen
nun lassen sich die berandeten Flchen subsumiren.(47) _Man fasse nmlich
die beiden Seiten der berandeten Flche als Polyederflchen auf, welche
lngs der Randcurve (also durchweg unter einem Winkel von 360 Grad)
zusammenstossen und behandele nunmehr statt der ursprnglichen berandeten
Flche die aus beiden Seiten zusammengesetzte Gesammtflche._(48) Diese
Gesammtflche ist dann in der That eine geschlossene Flche. Sie ist aber
berdiess eine _symmetrische_ Flche. Denn wenn man die
bereinanderliegenden Puncte der beiden Flchenseiten vertauscht, so
erfhrt die Gesammtflche eine conforme Abbildung auf sich selbst mit
Umlegung der Winkel. Die Randcurven sind dabei die Uebergangscurven.
_Zugleich aber gewinnt unsere Eintheilung der symmetrischen Flchen in
zweierlei Arten eine wichtige und durchschlagende Bedeutung._ Die
gewhnlichen berandeten Flchen, bei denen man zwei Flchenseiten
unterscheiden kann, entsprechen offenbar der ersten Art. Der zweiten Art
aber correspondiren die _Doppelflchen_, bei denen man von einer
Flchenseite durch continuirliches Fortschreiten ber die Flche hin zur
anderen gelangen kann. Auch der Fall ist nicht auszuschliessen (wie
bereits angedeutet), dass die Doppelflche berhaupt keine Randcurve
besitzen mag. _Wir haben dann eine symmetrische Flche ohne
Uebergangscurve vor uns._

Ich betrachte nunmehr der Reihe nach die verschiedenen
auseinanderzuhaltenden Flle.

1) _Sei zuvrderst eine einfach berandete, einfach zusammenhngende Flche
gegeben._ Eine solche Flche erscheint fr uns als eine geschlossene
Flche [formula], welche unter Auftreten einer Uebergangscurve symmetrisch
auf sich selbst bezogen ist. Wir finden also, _dass zwei solche Flchen
sich allemal durch Abbildung der einen oder der anderen Art conform__ auf
einander beziehen lassen, und dass man dabei in jedem der beiden Flle
noch drei reelle Constanten zur willkrlichen Verfgung hat._ Wir knnen
die letzteren insbesondere dazu benutzen, um einen beliebigen inneren
Punct der einen Flche einem entsprechend gelegenen Puncte der anderen
Flche zuzuweisen und berdiess einen beliebigen Randpunct der einen
Flche einem beliebigen Randpuncte der anderen. Diese Bestimmungsweise
entspricht dem bekannten Satze, den Riemann betreffs der conformen
Abbildung einer einfach berandeten, einfach zusammenhngenden, _ebenen_
Flche auf die Flche eines Kreises gegeben und in Nro. 21 seiner
Dissertation als Beispiel fr die Anwendung seiner Theorie auf Probleme
der conformen Abbildung ausfhrlich erlutert hat.

2) _Wir betrachten ferner Doppelflchen _[formula]_ (ohne Randcurven)._
Aus . 21, 22 folgt sofort, dass zwei solche Flchen allemal conform auf
einander bezogen werden knnen, und man dabei, den Schlussformeln des .
21 entsprechend, noch drei reelle Constanten zu beliebiger Verfgung hat.

3) _Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Flle, welche eine
Gesammtflche _[formula]_ ergeben, betrachten wir gemeinsam._ Es gehren
dahin zunchst die _zweifach berandeten, zweifach zusammenhngenden_
Flchen, also Flchen, die wir uns im einfachsten Falle als geschlossene
_Bnder_ vorstellen drfen. Es gehren dahin ferner _die bekannten
Doppelflchen mit nur einer Randcurve_, die man erhlt, wenn man die
beiden schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt,
nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat. Es gehren endlich dahin
_gewisse unberandete Doppelflchen_. Man kann sich von denselben ein Bild
machen, indem man etwa ein Stck eines Kautschukschlauches umstlpt und
nun so sich selbst durchdringen lsst, dass bei Zusammenbiegung der Enden
die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt. Bezglich aller dieser
Flchen besagen die frheren Stze, dass die Abbildbarkeit der einzelnen
Flche auf eine zweite derselben Art das Bestehen _einer_ aber nur einer
Gleichung zwischen den reellen Constanten der Flchen voraussetzt, dass
aber die Abbildung, wenn berhaupt, in unendlich vielen Weisen geschehen
kann, indem man ein doppeltes Vorzeichen und eine reelle Constante zu
beliebiger Verfgung hat.

4) _Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Flche._
Die Flche soll [formula] Randkurven besitzen und berdiess [formula]
nicht zerstckende Rckkehrschnitte zulassen, wobei entweder [formula]
sein muss oder [formula]. Dann wird die aus Vorder- und Rckseite
gebildete Gesammtflche [formula] nicht zerstckende Rckkehrschnitte
zulassen. Denn man kann erstens die [formula] nach Voraussetzung auf der
einfachen Flchenseite mglichen Rckkehrschnitte jetzt doppelt benutzen
(sowohl auf der Vorderseite, als der Rckseite), man kann ferner noch
lngs [formula] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass
die Gesammtflche aufhrte, ein einziges zusammenhngendes Flchenstck zu
bilden. Wir werden also in den Stzen des vorigen Paragraphen [formula]
setzen und haben:

_Zwei Flchen der betrachteten Art lassen sich, wenn berhaupt, nur auf
eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit
hngt von _[formula]_ Gleichungen zwischen den reellen Constanten der
Flchen ab._

5) _Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelflche_ mit [formula]
Randcurven und _P_ auf der doppelt gedachten Flche neben den Randcurven
mglichen Rckkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3)
betrachteten Mglichkeiten ([formula], [formula] oder _1_, und [formula],
[formula]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4),
nur dass berall statt [formula] die Summe [formula] zu schreiben ist, wo
_P_ nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. _Insbesondere
betrgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelflche, die bei
beliebiger conformer Abbildung ungendert bleiben, _[formula]_._--

Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen
Theoreme und Entwickelungen, welche Herr _Schottky_ in seiner wiederholt
citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Flle.




. 24. Schlussbemerkung.


Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende gefhrten letzten Abschnitt's
dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen
entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings
haben wir uns auf _eindeutige_ Beziehung zweier Flchen durch conforme
Abbildung beschrnkt. Riemann hat, wie er ausspricht, ebensowohl an
mehrdeutige Beziehung gedacht. Man wrde sich dementsprechend jede der
beiden in Vergleich kommenden Flchen mit mehreren Blttern berdeckt
vorstellen mssen und erst die so entstehenden mehrblttrigen Flchen
conform eindeutig zu beziehen haben. Die Verzweigungspuncte, welche diese
mehrblttrigen Flchen besitzen mgen, wrden ebensoviele neue, zur
Disposition stehende complexe Constante abgeben.--Hierzu ist zu bemerken,
dass wir wenigstens _einen_ Fall einer solchen Beziehung bereits
ausfhrlich in Betracht gezogen haben. Indem wir eine beliebige Flche
mehrblttrig ber die Ebene ausbreiteten (. 15), haben wir zwischen
Flche und Ebene eine Beziehung hergestellt, die von der einen Seite
mehrdeutig ist. Es ist dann weiter hervorzuheben, dass eben dieser
specielle Fall auch zwei beliebige Flchen mehrdeutig auf einander
beziehen lsst. Denn sind erst die beiden Flchen auf die Ebene
abgebildet, so sind sie, durch Vermittelung der Ebene, auch auf einander
bezogen.--Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der mehrdeutigen
Abbildung natrlich keineswegs erschpft. Aber es ist doch eine Grundlage
zu ihrer Behandlung gewonnen, indem gezeigt ist, wie sie sich in die
brigen functionentheoretischen Speculationen Riemann's, von denen wir
hier Rechenschaft zu geben hatten, einfgt.






FOOTNOTES


    1 Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell in
      seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873)
      gegeben hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmssige Behandlung
      angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.

    2 Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im 64. Bande von
      Poggendorff's Annalen: Ueber den Durchgang eines elektrischen
      Stromes durch eine Ebene (1845).

    3 Die Behauptungen des Textes hngen, wie man weiss, auf das Engste
      mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen, wegen
      deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89, p. 224 ff.
      (Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Strme in
      krperlichen Leitern, 1853) sowie C. Neumann in dessen Buche:
      Untersuchungen ber das Logarithmische und Newton'sche Potential
      (Leipzig, Teubner, 1877) vergleichen mag.

    4 Nach dem Vorgnge von C. Neumann, Vorlesungen ber Riemann's Theorie
      der Abel'schen Integrale, Leipzig, 1865.--Die Einfhrung der
      Kugelflche luft sozusagen der Ersetzung von _z_ durch das
      Verhltniss [formula] _zweier_ Variabler parallel, wodurch, wie man
      weiss, die Behandlung unendlich grosser Werthe von _z_ auch _formal_
      unter die der endlichen Werthe subsumirt wird.

    5 Unter [formula], [formula], [formula] rechtwinklige Coordinaten
      verstanden, sei die Gleichung der Kugel [formula]. Projectionspunct
      sei [formula], [formula], [formula], Projectionsebene
      ([formula]-Ebene) die gegenberliegende Tangentialebene (die
      [formula]-Ebene). Dann folgt:

      [formula]

      Bezeichnet man mit [formula] das Bogenelement der Ebene, mit
      [formula] das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt:

      [formula]

      eine Formel, welche fr das Folgende insofern besonders wichtig ist,
      als sie die Abbildung als eine _conforme_ charakterisirt.

    6 Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami,
      Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di
      Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.--Die besondere Bemerkung, dass
      Oberflchenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben,
      findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann,
      Kirchhoff und Tpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillire:
      Mthodes de transformation en Gomtrie et en Physique Mathmatique,
      Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).

    7 Es ist brigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von der
      Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe die
      wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Tpler.

    8 Ein besonders bersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem
      Charakter gibt die _Ikosaedergleichwng_ (siehe Mathematische
      Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:

      [formula]

      ist also (fr _z_) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die
      Unendlichkeitspunkte von _w_ fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen,
      welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher
      wir _z_ deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflchen dieses
      Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige
      sphrische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch
      [formula] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der
      Multiplicitt Zwei fr die Function _w_ dar. Hiernach kennt man
      (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [formula]
      Kreuzungspuncten bereits [formula]. Die 30 noch fehlenden werden
      durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphrischen
      Dreiecken angehren, geliefert.

                            [Illustration: Fig. 13.]

                                    Fig. 13.


      Die beistehende Figur reprsentirt in schematischer Weise eines
      jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strmungscurven; auf
      den 19 brigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.

    9 Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von der durch
      Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flchen mit
      Randcurven vorab berhaupt nicht in Betracht gezogen werden und also
      statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem zweiten
      laufen, sogenannte _Rckkehrschnitte_ zur Verwendung gelangen (vgl.
      C. Neumann, Vorlesungen ber Riemann's Theorie der Abel'schen
      Integrale, p. 291 ff.).

   10 Es ist immer nur an Umformung durch _stetige_ Functionen gedacht.
      Ueberdies sollen bei den willkrlichen Flchen des Textes bis auf
      Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein. Es ist
      am Besten, sich dieselben ohne alle singulre Puncte zu denken; erst
      spter kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen der
      Flche in Betracht (. 13). Die Flchen drfen jedenfalls keine
      _Doppelflchen_ sein, bei denen man von einer Flchenseite durch
      continuirliches Fortschreiten auf der Flche zur anderen
      Flchenseite gelangen kann; man vergleiche indess . 23. Ueberdiess
      wird vorausgesetzt--wie man es immer thut, wenn man sich eine
      geschlossene Flche als _fertig_ gegeben denkt--dass die Flche
      durch eine _endliche_ Zahl von Schnitten in einfach zusammenhngende
      Theile zerlegt werden kann.

   11 Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer
      Evidenz nicht noch der nheren Untersuchung bedrftig sei. Man
      vergleiche die Erluterungen von G. Cantor in Borchardt's Journal,
      Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von
      den Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es fr letztere
      Princip ist, auf anschauungsmssige Verhltnisse als letzte
      Begrndung zu recurriren.

   12 Man sehe C. Jordan: Sur la dformation des surfaces in Liouville's
      Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besonderer
      Aufklrung zu bedrfen schienen, sind in den mathematischen Annalen,
      Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.

   13 Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunchst nur
      auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe
      auf beliebige krumme Flchen zu bertragen ist: die
      Verallgemeinerung ist so zu treffen, dass wir auf die alten
      Unendlichkeitspuncte zurckkommen, wenn wir die Flche und die
      stationren Strmungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die
      Ebene bertragen.--In dieser Beschrnkung hinsichtlich der Art der
      Unendlichkeitspuncte liegt auch, wie ich hier nicht ausfhren kann,
      dass nur eine _endliche_ Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren
      Strmungen mglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prmissen, wie
      beilufig hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren
      Strmungen jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.

   14 Ueber die Periodicitt des imaginren Theil's der Function soll
      hiermit keinerlei Verfgung getroffen sein. In der That ist _v_ bei
      gegebenem _u_ durch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis
      auf eine additive Constante vollstndig bestimmt und es unterliegen
      also die Periodicittsmoduln, welche _v_ an den Querschnitten
      [formula], [formula] besitzen mag, keinerlei willkrlicher
      Festsetzung.

   15 Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracs sur
      les surfaces, in Liouville's Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).

   16 Wegen dieses Satzes siehe Beltrami, 1. c. p. 354.

   17 Ich will brigens daran erinnern, dass man auch den Green'schen Satz
      anschauungsmssig begrnden kann. Vgl. Tait, On Green's and allied
      other theorems, Edinburgh Transactions, 1869--70, p. 69 ff.

   18 Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch fr den praktischen
      Physiker von hohem Werthe.

   19 Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze: _Ueber den
      Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven vierten Grades_,
      Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann'schen
      Flchen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur
      in bertragenem Sinne von einer Flssigkeitsbewegung die Rede sein
      kann; vergl. die Erluterungen, welche darber in . 17 des
      Nachfolgenden gegeben werden.

   20 Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich
      ber die verschiedenen Mglichkeiten klar zu werden, die betreffs
      der Ueberfhrung einer gegebenen Flche in die Normalflche des . 8
      vorliegen.

   21 Sind sie es nicht, so ist die nchste Folge, dass die Zahl der in
      _m_ Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen _grsser_
      wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen,
      welche zumal Roch ber diese Mglichkeit angestellt hat (Borchardt's
      Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung
      betrifft: _Brill_ und _Nther_, ber die algebraischen Functionen
      und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7).
      Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie
      sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des _Abel_'schen Theorems
      anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel'schen
      Functionen giebt,--und will nur, mit Rcksicht auf sptere
      Entwickelungen des Textes (cf. . 19), darauf hinweisen, _dass eine
      lineare Abhngigkeit zwischen den _[formula]_ Gleichungen jedenfalls
      nicht eintritt, wenn __m__ die Grnse _[formula]_ berschreitet._

   22 Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der
      Kugel, um mich mglichst an die gewhnliche Auffassungsweise
      anzuschliessen.

   23 Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel'schen
      Functionen ber die Abbildung durch berall endliche Functionen
      sagt.

   24 Wir haben oben (. 11) ohne ausgefhrten Beweis angegeben, dass die
      Zahl der Kreuzungspuncte von [formula] betrgt. Wie man jetzt sieht,
      ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation,
      welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die
      Gesammtmultiplicitt derselben) mit der Bltterzahl _m_ und dem _p_
      einer mehrblttrigen Flche verknpft [unter _p_ die Maximahlzahl
      der Rckkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblttrigen
      Flche ziehen kann, ohne sie zu zerstcken].

   25 Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche man
      die gewhnlichen Lehrbcher, sodann insbesondere die Schrift von C.
      Neumann: Das Dirichlet'sche Princip in seiner Anwendung auf die
      Riemann'schen Flchen, Leipzig 1865.

   26 Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer mglich ist,
      mehrblttrige Flchen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform in
      solche zu verwandeln, die durchaus keine singulre Stelle besitzen
      Diese Frage greift ber die im Texte zu behandelnden Gegenstnde
      hinaus, aber ich habe sie immerhin anfhren wollen. Gelingt es im
      einzelnen Falle nicht, so haben die vorgngigen Betrachtungen des
      Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele
      die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die
      Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermglicht haben.

   27 Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l.
      c. (wo brigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringflche und
      ebenem Rechtecke besprochen wird).

   28 Diese geometrische Umsetzung ist natrlich keineswegs nothwendig;
      wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewhnlich
      eingehaltene Darstellungsweise.

   29 Im Besonderen kann diess anders sein. Wenn man _w_ und _z_ als
      Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch
      eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, die _Doppelpuncte_
      dieser Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.

   30 Vergl. die eingehende Beweisfhrung bei Prym, Borchardt's Journal,
      Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann'schen Satzes.

   31 Vergl. die betreffenden Bemerkungen der Vorrede.

   32 Vergl. meine Arbeiten ber elliptische Modulfunctionen in den Bnden
      14, 15, 17 der mathematischen Annalen.

   33 Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene Tafel
      ("Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen
      Functionen'') sowie die spter noch zu nennende Arbeit von Dyck im
      17. Bande daselbst.

   34 "Ueber eine neue Art von Riemann'schen Flchen'', mathematische
      Annalen Bd. 7 und 10.

   35 Siehe: Harnack (Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen
      fr die Geometrie der Curven dritten Grades) im 9. Bande der
      mathematischen Annalen, siehe ferner meinen schon oben genannten
      Aufsatz: "Ueber den Verlauf der Abel'schen Integrale bei den Curven
      vierten Grades'' im 10. Bande daselbst.

   36 Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner
      Inauguraldissertation: Zur Theorie der dreiblttrigen Riemann'schen
      Flche. Bremen 1876.

   37 Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen,
      so geschehe diess zunchst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande
      der mathematischen Annalen (p. 173), wo der Schluss begrndet wird,
      dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen
      vllig bestimmt sind, sodann in Bezug auf Bd. 15, p. 533 ebenda, wo
      eine ausfhrliche Betrachtung lehrt, dass es zehn rationale
      Functionen elften Grades gibt, die gewisse Verzweigungsstellen
      besitzen.

   38 Es folgt diese z. B. aus den Stzen von Lroth und Clebsch, die man
      in den Bnden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.

   39 Ich fhre dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen
      Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.

   40 Es ist bei diesem Satze an eine _continuirliche_ Schaar von
      Transformationen, also an Transformationen mit willkrlich
      vernderlichen Parametern gedacht. Ob eine Flche [formula] unter
      Umstnden nicht durch unendlich viele _discrete_ Transformationen in
      sich bergehen kann, bleibt im Texte unerrtert; doch scheint diess
      bei endlichem _p_ in der That auch unmglich.

   41 Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen, p.
      112 ff.

   42 Die im Texte aufzustellenden Stze finden sich explicite
      grsstentheils in der Literatur nicht vor. Wegen der Flchen
      [formula] vergleiche man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz
      (Berliner Monatsberichte 1870). Man sehe ferner eine Arbeit von
      Schottky: _Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhngender
      Flchen_}, die als Berliner Inaugural-Dissertation 1875 erschien und
      spter (1877) in umgearbeiteter Form in Borchardts Journal Bd. 83
      abgedruckt wurde. Es handelt sich in derselben um solche _p_-fach
      zusammenhngende ebene Bereiche, welche von [formula] Randcurven
      begrnzt werden.

   43 Solchen Flchen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer
      Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des
      Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer
      Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte
      Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und
      Untersuchung von Gruppe und Irrationalitt regulrer Riemann'scher
      Flchen).

   44 Es gibt natrlich wieder Flchen, welche neben einer Anzahl von
      Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen
      zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen den
      _regulr-symmetrischen_ Flchen der Dyck'schen Arbeit.

   45 Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen
      Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche
      ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in
      zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmssig, bei
      diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flchen und
      die Riemann'sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt
      werden, geradezu als Ausgangspunct zu whlen.

   46 Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and
      rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.

   47 Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung mit
      Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits
      genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt's Journal,
      sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz ber die Abbildung
      geschlossener Polyederflchen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte
      1865 p. 150 ff., Borchardt's Journal Bd. 70, p. 121--136, Bd. 75, p.
      330.)

   48 Ich drcke mich im Texte der Krze halber so aus, als wenn die
      ursprngliche Flche eine zweiseitige Flche gewesen wre, whrend
      doch nicht ausgeschlossen sein soll, dass sie eine Doppelflche ist.





***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK UEBER RIEMANN'S THEORIE DER ALGEBRAISCHEN FUNCTIONEN***



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January 8,  2007

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with paragraph 1.E.8 or 1.E.9.


1.E.8.


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distributing Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works provided that

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      Literary Archive Foundation. Royalty payments must be paid within 60
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      distribution of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} works.


1.E.9.


If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic
work or group of works on different terms than are set forth in this
agreement, you must obtain permission in writing from both the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael Hart, the owner of the
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} trademark. Contact the Foundation as set forth in
Section 3 below.


1.F.


1.F.1.


Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable effort to
identify, do copyright research on, transcribe and proofread public domain
works in creating the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection. Despite these
efforts, Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, and the medium on which they
may be stored, may contain "Defects," such as, but not limited to,
incomplete, inaccurate or corrupt data, transcription errors, a copyright
or other intellectual property infringement, a defective or damaged disk
or other medium, a computer virus, or computer codes that damage or cannot
be read by your equipment.


1.F.2.


LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES -- Except for the "Right of
Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation, the owner of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
trademark, and any other party distributing a Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
electronic work under this agreement, disclaim all liability to you for
damages, costs and expenses, including legal fees. YOU AGREE THAT YOU HAVE
NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH
OF CONTRACT EXCEPT THOSE PROVIDED IN PARAGRAPH F3. YOU AGREE THAT THE
FOUNDATION, THE TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
WILL NOT BE LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL,
PUNITIVE OR INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY
OF SUCH DAMAGE.


1.F.3.


LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND -- If you discover a defect in this
electronic work within 90 days of receiving it, you can receive a refund
of the money (if any) you paid for it by sending a written explanation to
the person you received the work from. If you received the work on a
physical medium, you must return the medium with your written explanation.
The person or entity that provided you with the defective work may elect
to provide a replacement copy in lieu of a refund. If you received the
work electronically, the person or entity providing it to you may choose
to give you a second opportunity to receive the work electronically in
lieu of a refund. If the second copy is also defective, you may demand a
refund in writing without further opportunities to fix the problem.


1.F.4.


Except for the limited right of replacement or refund set forth in
paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS,' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.


1.F.5.


Some states do not allow disclaimers of certain implied warranties or the
exclusion or limitation of certain types of damages. If any disclaimer or
limitation set forth in this agreement violates the law of the state
applicable to this agreement, the agreement shall be interpreted to make
the maximum disclaimer or limitation permitted by the applicable state
law. The invalidity or unenforceability of any provision of this agreement
shall not void the remaining provisions.


1.F.6.


INDEMNITY -- You agree to indemnify and hold the Foundation, the trademark
owner, any agent or employee of the Foundation, anyone providing copies of
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works in accordance with this agreement, and
any volunteers associated with the production, promotion and distribution
of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works, harmless from all liability, costs
and expenses, including legal fees, that arise directly or indirectly from
any of the following which you do or cause to occur: (a) distribution of
this or any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, (b) alteration, modification, or
additions or deletions to any Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} work, and (c) any Defect
you cause.


Section  2.


           Information about the Mission of Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}


Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} is synonymous with the free distribution of electronic
works in formats readable by the widest variety of computers including
obsolete, old, middle-aged and new computers. It exists because of the
efforts of hundreds of volunteers and donations from people in all walks
of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the assistance
they need, is critical to reaching Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}'s goals and ensuring
that the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} collection will remain freely available for
generations to come. In 2001, the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation was created to provide a secure and permanent future for
Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} and future generations. To learn more about the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation and how your efforts and donations
can help, see Sections 3 and 4 and the Foundation web page at
http://www.pglaf.org.


Section 3.


   Information about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation


The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the state of
Mississippi and granted tax exempt status by the Internal Revenue Service.
The Foundation's EIN or federal tax identification number is 64-6221541.
Its 501(c)(3) letter is posted at
http://www.gutenberg.org/fundraising/pglaf. Contributions to the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation are tax deductible to the full
extent permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr.
S. Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations. Its business office is located at 809 North
1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact information
can be found at the Foundation's web site and official page at
http://www.pglaf.org

For additional contact information:


    Dr. Gregory B. Newby
    Chief Executive and Director
    gbnewby@pglaf.org


Section 4.


  Information about Donations to the Project Gutenberg Literary Archive
                                Foundation


Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} depends upon and cannot survive without wide spread
public support and donations to carry out its mission of increasing the
number of public domain and licensed works that can be freely distributed
in machine readable form accessible by the widest array of equipment
including outdated equipment. Many small donations ($1 to $5,000) are
particularly important to maintaining tax exempt status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United States.
Compliance requirements are not uniform and it takes a considerable
effort, much paperwork and many fees to meet and keep up with these
requirements. We do not solicit donations in locations where we have not
received written confirmation of compliance. To SEND DONATIONS or
determine the status of compliance for any particular state visit
http://www.gutenberg.org/fundraising/donate

While we cannot and do not solicit contributions from states where we have
not met the solicitation requirements, we know of no prohibition against
accepting unsolicited donations from donors in such states who approach us
with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make any
statements concerning tax treatment of donations received from outside the
United States. U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation methods
and addresses. Donations are accepted in a number of other ways including
checks, online payments and credit card donations. To donate, please
visit: http://www.gutenberg.org/fundraising/donate


Section 5.


      General Information About Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~} electronic works.


Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
concept of a library of electronic works that could be freely shared with
anyone. For thirty years, he produced and distributed Project Gutenberg{~TRADE MARK SIGN~}
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